मान लीजिये कि $$a, b$$ द्विघातीय बहुपद (quadratic polynomial) $$x^{2}+20 x-2020$$ के भित्र वास्तविक मूलों (distinct real roots) को दर्शाते हैं, एवं मान लीजिये कि $$c, d$$ द्विघातीय बहुपद $$x^{2}-20 x+2020$$ के भित्र सम्मिश्र मूलों (distinct complex roots) को दर्शाते हैं। तब

$$a c(a-c)+a d(a-d)+b c(b-c)+b d(b-d)$$

का मान है

यदि फलन (function) $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ को $$f(x)=|x|(x-\sin x)$$ से परिभाषित किया जाता है, तब निम्न में से कौन सा कथन सही है?

माना कि फलनों (functions) $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एवं $$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$f(x)=e^{x-1}-e^{-|x-1|}$$ एवं $$g(x)=\frac{1}{2}\left(e^{x-1}+e^{1-x}\right)$$

के द्वारा परिभाषित किया जाता है। तब प्रथम चतुर्थंश (first quadrant) में वक्रों (curves) $$y=f(x), y=g(x)$$ एवं $$x=0$$ के द्वारा प्रतिबद्ध क्षेत्र (bounded region) का क्षेत्रफल (area) है

माना कि $$a, b$$ एवं $$\lambda$$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (positive real numbers) हैं। मान लीजिये कि परवलय (parabola) $$y^{2}=4 \lambda x$$ के नाभिलंब जीवा (latus rectum) का एक अंत्य बिन्दु (end point) $$P$$ है, एवं मान लीजिये कि दीर्घवृत्त (ellipse) $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ बिन्दु $$P$$ से गुजरता है । यदि बिंदु $$P$$ पर परवलय एवं दीर्घवृत्त की स्पशरिखाएँ (tangents) एक दूसरे के लम्बवत (perpendicular) हैं, तब दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) है

माना कि दो अभिनत सिक्को (biased coins) $$C_{1}$$ एवं $$C_{2}$$ को एक बार उछालने (single toss) पर चित (head) आने कि प्रायिकतायें (probabilities) क्रमशः $$\frac{2}{3}$$ एवं $$\frac{1}{3}$$ हैं। मान लीजिये कि $$C_{1}$$ को स्वतंत्र रूप (independently) से दो बार उछालने पर चित आने की संख्या $$\alpha$$ है, एवं मान लीजिये कि $$C_{2}$$ को स्वतंत्र रूप से दो बार उछालने पर चित आने की संख्या $$\beta$$ है। तब द्विघातीय बहुपद (quadratic polynomial) $$x^{2}-\alpha x+\beta$$ के मूलों (roots) के वास्तविक (real) और बराबर (equal) होने की प्रायिकता (probability) है

उन सभी आयतों (rectangles) पर विचार कीजिये जो कि क्षेत्र (region)

$$\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$$ एवं $$0 \leq y \leq 2 \sin (2 x)\} $$

में स्थित हैं एवं जिनकी एक भुजा $$x$$-अक्ष ( $$x$$-axis) पर है। इन सभी आयतों में से अधिकतम परिमाप (maximum perimeter) वाले आयत का क्षेत्रफल (area) है

माना कि फलन (function) $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ को $$f(x)=x^{3}-x^{2}+(x-1) \sin x$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, एवं माना कि $$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक स्वेच्छ फलन (arbitrary function) है। माना कि $$f g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ गुणन फलन (product function) है जो कि $$(f g)(x)=f(x) g(x)$$ के द्वारा परिभाषित है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$M$$ वास्तविक संख्याओं (real numbers) का एक $$3 \times 3$$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह (invertible matrix) है एवं माना कि $$3 \times 3$$ के तत्समक आव्यूह (identity matrix) को $$I$$ से दर्शाया जाता है। यदि $$M^{-1}=\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$$ है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सदैव सही है (हैं)?

माना कि $$S$$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) $$z$$ का समुच्चय (set) है जो $$\mid z^{2}+z+ 1| = 1$$ को संतुष्ट करती हैं। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$x, y$$ और $$z$$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (positive real numbers) हैं। मान लीजिये कि एक त्रिभुज (triangle) के कोण (angles) $$X, Y$$ एवं $$Z$$ की सम्मुख भुजाओं (opposite sides) की लम्बाईयाँ क्रमशः $$x, y$$ एवं $$z$$ हैं। यदि

$$\tan \frac{X}{2}+\tan \frac{Z}{2}=\frac{2 y}{x+y+z}$$

है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$L_{1}$$ एवं $$L_{2}$$ निम्न सरल रेखाएँ (straight lines) हैं।

$$L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{3}$$ एवं $$L_{2}: \frac{x-1}{-3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$$

मान लीजिए कि सरल रेखा

$$L: \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-\gamma}{-2}$$

$$L_{1}$$ एवं $$L_{2}$$ के समतल (plane) में स्थित है, और $$L_{1}$$ एवं $$L_{2}$$ के प्रतिच्छेद बिन्दु (point of intersection) से जाती है | यदि रेखा $$L$$, रेखाओं $$L_{1}$$ एवं $$L_{2}$$ के बीच के न्यूनकोण (acute angle) को समद्विभाजित (bisect) करती है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

निम्न असमिकाओं (inequalities) में से कौन सी सही है (हैं)?

माना कि $$\log _{3}\left(3^{y_{1}}+3^{y_{2}}+3^{y_{3}}\right)$$ का न्यूनतम संभावित मान (minimum possible value) $$m$$ है, जहाँ $$y_{1}, y_{2}, y_{3}$$ वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं जिनके लिये $$y_{1}+y_{2}+y_{3}=9$$ है । माना कि $$\left(\log _{3} x_{1}+\log _{3} x_{2}+\log _{3} x_{3}\right)$$ का अधिकतम संभावित मान (maximum possible value) $$M$$ है, जहाँ $$x_{1}, x_{2}, x_{3}$$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (positive real numbers) हैं जिनके लिये $$x_{1}+x_{2}+x_{3}= 9$$ है । तब $$\log _{2}\left(m^{3}\right)+\log _{3}\left(M^{2}\right)$$ का मान है ____________

माना कि धनात्मक पूर्णांकों का एक अनुक्रम (sequence of positive integers) $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$$ समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) में है जिसका सार्व अंतर (common difference) 2 है।तथा, माना कि धनात्मक पूर्णांकों का एक अनुक्रम $$b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$$ गुणोत्तर श्रेढ़ी (geometric progression) में है जिसका सार्व अनुपात (common ratio) 2 है | यदि $$a_{1}=b_{1}=c$$ है, तब $$c$$ के सभी संभावित मानों कि संख्या, जिनके लिये समीका (equality)

$$2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$$

किसी धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिये सही हो, है ____________

माना कि फलन (function) $$f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$f(x)=(3-\sin (2 \pi x)) \sin \left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right)-\sin \left(3 \pi x+\frac{\pi}{4}\right)$$

द्वारा परिभाषित किया जाता है । यदि $$\alpha, \beta \in[0,2]$$ इस प्रकार से हैं कि $$\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$$, तब $$\beta-\alpha$$ का मान है ___________

एक त्रिभुज (triangle) $$P Q R$$ में माना कि $$\vec{a}=\overrightarrow{Q R}, \vec{b}=\overrightarrow{R P}$$ एवं $$\vec{c}=\overrightarrow{P Q}$$ हैं। यदि

$$|\vec{a}|=3, \quad|\vec{b}|=4 \quad \text { एवं } \quad \frac{\vec{a} \cdot(\vec{c}-\vec{b})}{\vec{c} \cdot(\vec{a}-\vec{b})}=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}$$

हैं, तब $$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}$$ का मान है ___________

वास्तविक गुणांकों (real coefficients) के बहुपद (polynomial) $$g(x)$$ के लिये, माना कि $$g(x)$$ की भित्र वास्तविक मूलों की संख्या (number of distinct real roots) को $$m_{g}$$ से दर्शाते हैं। मान लीजिये कि $$S$$ वास्तविक गुणांकों के बहुपदों का समुच्चय (set) है जो कि

$$S=\left\{\left(x^{2}-1\right)^{2}\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}\right): a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\}$$

द्वारा परिभाषित है। माना कि बहुपद $$f$$ के प्रथम एवं द्वितीय कोटि के अवकलजों (first and second order derivatives) को क्रमशः $$f'$$ एवं $$f''$$ से दर्शाते हैं।तब $$\left(m_{f'}+m_{f''}\right)$$, जहाँ $$f \in S$$, का न्यूनतम संभावित मान (minimum possible value) है ____________

माना कि $$e$$ प्राकृतिक लघुगुणक के आधार (base of natural logarithm) को दर्शाता है । वास्तविक संख्या $$a$$ का वो मान जिसके लिये दायें पक्ष की सीमा (right hand limit)

$$\lim_\limits{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^{a}}$$

एक शून्येतर वास्तविक संख्या (nonzero real number) के बराबर है, है __________