अतिपरवलय $$\mathrm{H}$$ पर विचार कीजिए जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर तथा नाभि $$\mathrm{x}$$-अक्ष पर है। माना $$\mathrm{C}_1$$ एक वृत्त है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है तथा जो अतिपरवलय $$\mathrm{H}$$ को स्पर्श करता है। माना $$\mathrm{C}_2$$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $$\mathrm{H}$$ को इसके शीर्षों पर स्पर्श करता है तथा जिसका केन्द्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $$\mathrm{C}_1$$ तथा $$\mathrm{C}_2$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) क्रमशः $$36 \pi$$ तथा $$4 \pi$$ है, तो $$\mathrm{H}$$ के नाभिलंब की लम्बाई (इकाई) में है

यदि $$(1+x)^n$$ के प्रसार में $$x^4, x^5$$ तथा $$x^6$$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं, तो $$n$$ का उच्चतम मान है :

$$\frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2+\ldots .+100 \times(101)^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3+\ldots+100^2 \times 101}$$ का मान है

यदि फलन

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{{{72}^x} - {9^x} - {8^x} + 1} \over {\sqrt 2 - \sqrt {1 + \cos x} }}} & , & {x \ne 0} \cr {a{{\log }_e}2{{\log }_e}3} & , & {x = 0} \cr } } \right.$$

$$x=0$$ पर संतत है, तो $$a^2$$ का मान बराबर है

माना रेखाओं $$\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}$$ तथा $$\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}$$ का प्रतिच्छेदी बिन्दु $$\mathrm{P}$$ है, तो रेखा $$4 x=2 y=z$$ से बिन्दु $$\mathrm{P}$$ की न्यूनतम दूरी है

माना $$f(x)=3 \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$$ वास्तविक मूल्य फलन है यदि $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ क्रमश: $$f$$ के न्यूनतम तथा उच्चतम मान हैं, तो $$\alpha^2+2 \beta^2$$ बराबर है

माना $$f(x)=\int_0^x\left(t+\sin \left(1-e^{\prime}\right)\right) d t, x \in \mathbb{R}$$, है। तो $$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$$ बराबर है

क्षेत्र $$\left\{(x, y): y^2 \leq 2 x\right.$$, तथा $$\left.y \geq 4 x-1\right\}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है

दिया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमति फलन केवल मुख्य मान मानता है| माना $$[-1,1]$$ में दो वास्तविक संख्याऐं $$x$$ तथा $$y$$ इस प्रकार है कि $$\cos ^{-1} x-\sin ^{-1} y=\alpha, \frac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$$. तो $$x^2+y^2+2 x y \sin \alpha$$ का न्यूनतम मान है

$$\lambda>0$$ के लिए, माना सदिशों $$\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}-3 \hat{k}$$ तथा $$\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$$ के बीच का कोण $$\theta$$ है। यदि सदिश $$\vec{a}+\vec{b}$$ तथा $$\vec{a}-\vec{b}$$ परस्पर लम्बवत् है ; तो $$(14 \cos \theta)^2$$ का मान बराबर है

माना $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$\left(x^2+4\right)^2 d y+\left(2 x^3 y+8 x y-2\right) d x=0$$ का हल है। यदि $$y(0)=0$$ है, तो $$y(2)$$ बराबर है

यदि किसी याद्हच्छिक चर $$\mathrm{X}$$ की निन्मलिखित प्रायिकता बंटन :

$$\mathrm{X}$$	0	2	4	6	8
$$\mathrm{P(X)}$$	$$a$$	$$2a$$	$$a+b$$	$$2b$$	$$3b$$

का माध्यम $$\frac{46}{9}$$ है, तो बंटन का प्रसरण है:

माना परवलय $$y^2=12 x$$ की एक जीवा $$\mathrm{PQ}$$ है तथा $$\mathrm{PQ}$$ का मध्य बिन्दु $$(4,1)$$ पर है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिन्दु, $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है?

माना $$\mathrm{C}$$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $$\sqrt{10}$$ इकाई है तथा केन्द्र मूलबिन्दु पर है। माना रेखा $$x+y=2$$ वृत्त $$\mathrm{C}$$ को बिन्दु $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर प्रतिच्छेद करती है। माना $$\mathrm{MN}, \mathrm{C}$$ की एक जीवा है जिसकी लम्बाई 2 तथा प्रवणता $$-$$1 है। तो जीवा $$\mathrm{PQ}$$ तथा जीवा $$\mathrm{MN}$$ के बीच की एक दूरी(इकाई में) हे

क्षेत्र $$S=\{z \in \mathbb{C}:|z-1| \leq 2 ;(z+\bar{z})+i(z-\bar{z}) \leq 2, \operatorname{Im}(z) \geq 0\}$$ का क्षेत्रफल(वर्ग इकाईयों में) है ________

यदि समाकलन $$\int_{-1}^1 \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} d x$$ का मान $$\frac{2}{\pi}$$ है। तो $$\alpha$$ का एक मान है

माना तीन वास्तविक संख्याएँ $$a, b, c$$ समांतर श्रेणी में हैं तथा $$a+1, b, c+3$$ गुणोत्तर श्रेणी में है यदि $$a>10$$ है तथा $$a, b, c$$ का समांतर माध्य 8 है, तो $$a, b, c$$ के गुणोत्तर माध्य का घन है

माना $$N \times N$$ पर संबंध $$R$$ परिभाषित है: $$\left(x_1, y_1\right) \mathrm{R}\left(x_2, y_2\right)$$ यदि और केवल यदि $$x_1 \leq x_2$$ या $$y_1 \leq y_2$$ है। दो कथनों पर विचार कीजिए :

(I) $$\mathrm{R}$$ स्वतुल्य है परन्तु सममित नहीं

(II) $$\mathrm{R}$$ संक्रामक है

तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$$ तथा $$\mathrm{B}=\mathrm{I}+\operatorname{adj}(\mathrm{A})+(\operatorname{adj} \mathrm{A})^2+\ldots+(\operatorname{adj} \mathrm{A})^{10}$$. तो, आव्यूह $$B$$ के सभी अवयवों का योग है:

माना $$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=x \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, x \in \mathbb{R}$$ है यदि $$\vec{b}+\vec{c}$$ की दिशा में एक इकाई सदिश $$\vec{d}$$ इस प्रकार है कि $$\vec{a} \cdot \vec{d}=1$$, तो $$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$$ बराबर है

माना $$S=\left\{\sin ^2 2 \theta:\left(\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta\right) x^2+(\sin 2 \theta) x+\left(\sin ^6 \theta+\cos ^6 \theta\right)=0\right.$$ के वास्तविक मूल हैं} हैं। यदि $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ समुच्चय $$\mathrm{S}$$ के क्रमश: सबसे छोटा तथा सबसे बड़ा अवयव हैं, तो $$3\left((\alpha-2)^2+(\beta-1)^2\right)$$ बराबर है ________

यदि $$\int \operatorname{cosec}^5 x d x=\alpha \cot x \operatorname{cosec} x\left(\operatorname{cossc}^2 x+\frac{3}{2}\right)+\beta \log _e\left|\tan \frac{x}{2}\right|+\mathrm{C}$$ हें, जहाँ $$\alpha, \beta \in \mathrm{R}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ समाकल अचर है, तो $$8(\alpha+\beta)$$ का मान बराबर है ______

यदि , $$2 \times 2$$ कोटि का सममित आव्यूह $$A$$ इस प्रकार है कि $$A\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\ 7\end{array}\right]$$ तथा $$A$$ की सारणिक 1 है। यदि $$A^{-1}=\alpha A+\beta I$$, जहाँ $$I$$ कोटि $$2 \times 2$$ की तत्समक आव्यूह है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है _________

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ जिसके शीर्ष $$\mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(\alpha, \beta)$$ तथा $$\mathrm{C}(\gamma, \delta)$$ और कोण $$\angle A B C=\frac{\pi}{6}$$ तथा $$\angle B A C=\frac{2 \pi}{3}$$ हैं पर विचार कीजिए। यदि बिन्दु $$\mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ रेखा $$y=x+4$$ पर स्थित हैं, तो $$\alpha^2+\gamma^2$$ बराबर है ________.

एक टीम किसी प्रतियोगिता में 10 मैच खेलती है तथा प्रत्येक मैच को जीतने तथा हारने की प्रायिकता क्रमश: $$\frac{1}{3}$$ तथा $$\frac{2}{3}$$ है। माना $$x$$ उन मैचों की संख्या है जो वह टीम जीतती है तथा $$\mathrm{y}$$ उन मैचों की संख्या है जब टीम हारती है। यदि प्रायिकता $$\mathrm{P}(|x-y| \leq 2), \mathrm{p}$$ है, तो $$3^9 \mathrm{p}$$ बराबर है _______

विचार कीजिए फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{1+9 x^2}}$$ द्वारा परिभाषित है। यदि $$f$$ का संयोजन $$\underbrace{(f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)}_{10 \text { times }}(x)=\frac{2^{10} x}{\sqrt{1+9 \alpha x^2}}$$ है, तो $$\sqrt{3 \alpha+1}$$ का मान बराबर है ________.

माना $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$(x+y+2)^2 d x=d y, y(0)=-2$$ का एक हल है। माना $$\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$ में फलन $$y=y(x)$$ के उच्चतम तथा निम्नतम मान क्रमश: $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं। यदि $$(3 \alpha+\pi)^2+\beta^2=\gamma+\delta \sqrt{3}, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}$$ तो $$\gamma+\delta$$ बराबर है ________.

माना त्रिअवकलनीय एक फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ इस प्रकार है कि $$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$$ है, तथा $$f(4)=-2$$, तो $$\left(3 f^{\prime} f^{\prime \prime}+f f^{\prime \prime \prime}\right)(x)$$ के न्यूनतम शून्यों की संख्या है ________.

बिंदुओं $$\mathrm{P}(1,2,1)$$ तथा $$\mathrm{Q}(2,1,-1)$$ से गुजरने वाली एक रेखा $$\mathrm{L}$$ पर विचार कीजिए। यदि बिन्दु $$\mathrm{A}(2,2,2)$$ का दर्पण प्रतिचित्रण रेखा $$L$$ में $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है, तो $$\alpha+\beta+6 \gamma$$ बराबर है __________.

समूह $$\mathrm{A}$$ में 4 आदमी तथा 5 औरतें हैं, और समूह $$\mathrm{B}$$ में 5 आदमी तथा 4 औरतें हैं। यदि 4 व्यक्तियों को प्रत्येक समूह से चुना जाता है, तो 4 आदमी तथा 4 औरतों के चुने जाने वाले तरीकों की संख्या है ________.