माना $$f(x)=\frac{\left(2^x+2^{-x}\right) \tan x \sqrt{\tan ^{-1}\left(x^2-x+1\right)}}{\left(7 x^2+3 x+1\right)^3}$$ है। तो $$f^{\prime}(0)$$ का मान बराबर है

माना $$\vec{a}, \vec{b}$$ तथा $$\vec{c}$$ तीन शून्येत्तर सदिश हैं तथा $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ संरेख नहीं हैं। यदि $$\vec{a}+5 \vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ संरेख हैं, $$\vec{b}+6 \vec{c}$$ और $$\vec{a}$$ संरेख है तथा $$\vec{a}+\alpha \vec{b}+\beta \vec{c}=\overrightarrow{0}$$ है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है

माना शीर्षों $$\mathrm{A}(a,-2), \mathrm{B}(a, 6)$$ तथा $$C\left(\frac{a}{4},-2\right)$$ के एक त्रिभुज का परिकेन्द्र $$\left(5, \frac{a}{4}\right)$$ है। यदि इस त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या $$\alpha$$, त्रिभुज का क्षेत्रफल $$\beta$$ तथा त्रिभुज का परिमाप $$\gamma$$ है, तो $$\alpha +\beta+\gamma$$ बराबर है

यदि समीकरण $$4 \cos \theta+5 \sin \theta=1$$ का हल $$\alpha,-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ हे, तो $$\tan \alpha$$ का मान है

यदि 64 पदों की एक G.P. में सभी पदों का योग, इसके विषम पदों के योग का 7 गुना है, तो G.P. का सार्व अनुपात बराबर है

एक न्याय पासे को 2 प्राप्त होने तक फेंका जाता है। तो पासे को सम संख्या बार फेंकने पर 2 के प्राप्त होने की प्रायिकता है

एक A.P. में छठा पद $$a_6=2$$ है। यदि गुणनफल $$a_1 a_4 a_5$$ अधिकतम है, तो A.P. का सार्व अंतर बराबर है

माना $$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha\end{array}\right]$$ तथा $$|2 A|^3=2^{21}$$ हैं, जहाँ $$\alpha, \beta \in Z$$ हैं। तो $$\alpha$$ का एक मान है

$$Z \times Z$$ पर $$(a, b) R(c, d)$$ यदि और केवल यदि $$a d-b c, 5$$ से विभाज्य है, द्वारा परिभाषित संबंध $$R$$

यदि $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2+2 x, & -1 \leq x< 0 \\ 1-\frac{x}{3}, & 0 \leq x \leq 3\end{array} ; g(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x, & -3 \leq x \leq 0 \\ x, & 0< x \leq 1\end{array}\right.\right.$$, तो $$(f \circ g)(x)$$ का परिसर है

माना $$\mathrm{O}$$ मूलबिंदु है तथा $$\mathrm{A}$$ और $$\mathrm{B}$$ के स्थिति सदिश क्रमशः $$2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$$ और $$2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$$ हैं। यदि $$\angle \mathrm{AOB}$$ की अंतः समद्विभाजक रेखा $$\mathrm{AB}$$ को $$\mathrm{C}$$ पर मिलती है, तो $$\mathrm{OC}$$ की लंबाई है

एक $$\triangle A B C$$ में माना कोण $$B$$ के समद्विभाजक का समीकरण $$y=x$$ है तथा भुजा $$A C$$ का समीकरण $$2 x-y=2$$ है। यदि $$(4,6)$$ और $$(\alpha, \beta)$$ क्रमशः बिंदु $$A$$ और $$B$$ हैं तथा $$2 A B=B C$$ है, तो $$\alpha+2 \beta$$ बराबर है

$$x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ के लिए यदि $$y(x)=\int \frac{\operatorname{cosec} x+\sin x}{\operatorname{cosec} x \sec x+\tan x \sin ^2 x} d x$$ है तथा $$\lim _\limits{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} y(x)=0$$ है, तो $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ बराबर है

माना एक वर्ग आव्यूह $$\mathrm{A}$$ के लिए $$\mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I}$$ है। तो $$\frac{1}{2} A\left[\left(A+A^T\right)^2+\left(A-A^T\right)^2\right]$$ बराबर है

यदि $$z=\frac{1}{2}-2 i$$ के लिए $$|z+1|=\alpha z+\beta(1+i)$$ है, जहाँ $$i=\sqrt{-1}$$ तथा $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है

$$f(x)=4 \sqrt{2} x^3-3 \sqrt{2} x-1$$ द्वारा परिभाषित फलन $$f:\left[\frac{1}{2}, 1\right] \rightarrow \mathbb{R}$$ के लिए कथनों

(I) वक्र $$y=f(x), x$$-अक्ष को मात्र एक बिंदु पर काटता है

(II) वक्र $$y=f(x), x$$-अक्ष को $$x=\cos \frac{\pi}{12}$$ पर काटता है

में से

माना एक त्रिभुज $$\mathrm{PQR}$$ में $$\mathrm{R}(-1,4,2)$$ है। माना $$\mathrm{PQ}$$ का मध्य बिंदु $$\mathrm{M}(2,1,2)$$ है। तो रेखाओं $$\frac{x-2}{0}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$$ तथा $$\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z+1}{1}$$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $$\triangle \mathrm{PQR}$$ के केन्द्रक की दूरी हे

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{1 \over {{{\left( {x - {\pi \over 2}} \right)}^2}}}\int\limits_{{x^3}}^{{{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^3}} {\cos \left( {{t^{{1 \over 3}}}} \right)dt} } \right)$$ बराबर है

एक फलन $$y=f(x)$$ के लिए $$f(x) \sin 2 x+\sin x-\left(1+\cos ^2 x\right) f^{\prime}(x)=0$$ तथा $$f(0)=0$$ हैं। तो $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ बराबर है

यदि समाफलन $$\int_\limits{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{213}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2$$ हे, तो $$a$$ का मान है __________

वृत्त $$x^2+y^2=169$$ के रेखा $$5 x-y=13$$ से नीचे के भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) $$\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$$ है, जहाँ $$\alpha, \beta$$ असहभाज्य संख्याएँ है। तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है ________

यदि आकडों $$65,68,58,44,48,45,60, \alpha, \beta, 60$$, जहाँ $$\alpha>\beta$$ है, के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$56$$ तथा $$66.2$$ हें, तो $$\alpha^2+\beta^2$$ बराबर है __________.

एक वृत्त के दो व्यासों के समीकरण $$2 x-3 y=5$$ तथा $$3 x-4 y=7$$ हैं। बिंदुओं $$\left(-\frac{22}{7},-4\right)$$ तथा $$\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$$ को मिलाने वाली रेखा, वृत्त को केवल एक बिंदु $$P(\alpha, \beta)$$ पर मिलती हे। तो $$17 \beta-\alpha$$ बराबर है _________.

दिक अनुपात $$2,1,2$$ की एक रेखा, रेखाओं $$x=y+2=z$$ तथा $$x+2=2 y=2 z$$ को क्रमशः बिंदुओं $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर मिलती है। यदि बिंदु $$(1,2,12)$$ से रेखा $$\mathrm{PQ}$$ पर लंब की लंबाई $$l$$ है, तो $$l^2$$ बराबर है _________.

यदि $$\frac{{ }^{11} C_1}{2}+\frac{{ }^{11} C_2}{3}+\ldots+\frac{{ }^{11} C_9}{10}=\frac{n}{m}$$ है तथा $$\operatorname{gcd}(n, m)=1$$ है, तो $$n+m$$ बराबर है _________.

यदि दो भिन्न शांकवों $$x^2+y^2=4 b$$ तथा $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ के प्रतिच्छेदन बिंदु, वक्र $$y^2=3 x^2$$ पर हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं से बने आयत के क्षेत्रफल का $$3 \sqrt{3}$$ गुना है __________.

GTWENTY शब्द के सभी अक्षरों को सभी संभव तरीकों, अर्थपूर्ण अथवा अर्थहीन, से लिखा जाता है तथा इन शब्दों को एक शब्दकोश की तरह लिखा जाता है। GTWENTY शब्द की क्रम संख्या है ________.

माना समीकरण $$x^2-x+2=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं तथा $$\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$$ है। तो $$\alpha^6+\alpha^4+\beta^4- 5 a^2$$ बराबर है ___________.

मान $$f(x)=2^x-x^2, x \in \mathbb{R}$$ है। यदि वक्र $$y=f(x)$$ तथा $$y=f^{\prime}(x), x$$-अक्ष को क्रमशः $$m$$ तथा $$n$$ बिंदुओं पर काटते हैं, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ का मान है _________.

यदि अवकल समीकरण $$\left(1+y^2\right)\left(1+\log _{\mathrm{e}} x\right) d x+x d y=0, x>0$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$, बिंदु $$(1,1)$$ से होकर जाता है तथा $$y(e)=\frac{\alpha-\tan \left(\frac{3}{2}\right)}{\beta+\tan \left(\frac{3}{2}\right)}$$ हे, तो $$\alpha+2 \beta$$ बराबर है ___________.