प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों (inverse trigonometric functions) के केवल मुख्य मानों (only principal values) पर विचार करते हुए,

$$ \frac{3}{2} \cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^{2}}}+\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^{2}}+\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} $$

का मान ___________ है।

माना कि $$\alpha$$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या (positive real number) है| माना कि फलनों (functions) $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एवं $$g:(\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$ f(x)=\sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$$ एवं $$g(x)=\frac{2 \log _{\mathrm{e}}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log _{\mathrm{e}}\left(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}\right)}$$

द्वारा परिभाषित किया जाता है। तब $$\lim\limits_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$$ का मान ___________ है।

महामारी के एक अध्ययन में 900 व्यक्तियों के आँकड़े (data) एकत्रित किये गये। यह पाया गया कि

190 व्यक्तियों को बुखार के लक्षण थे,

220 व्यक्तियों को खांसी के लक्षण थे,

220 व्यक्तियों को श्वासरोग के लक्षण थे,

330 व्यक्तियों को बुखार या खांसी या दोनों के लक्षण थे,

350 व्यक्तियों को खांसी या श्वासरोग या दोनों के लक्षण थे,

340 व्यक्तियों को बुखार या श्वासरोग या दोनों के लक्षण थे,

30 व्यक्तियों को तीनो ( बुखार, खांसी एवं श्वासरोग ) के लक्षण थे ।

यदि इन 900 व्यक्तियों से एक व्यक्ति को याद्रच्छिक रूप (randomly) से चुना जाता है, तब उस चुने गये व्यक्ति को अधिकतम (at most) एक लक्षण होने की प्रायिकता (probability) ___________ है|

माना कि $$z$$ एक शून्येतर काल्पनिक भाग (non-zero imaginary part) वाली सम्मिश्र संख्या (complex number) है। यदि

$$ \frac{2+3 z+4 z^{2}}{2-3 z+4 z^{2}} $$

एक वास्तविक संख्या (real number) है, तब $$|z|^{2}$$ का मान ____________ है।

माना कि $$\bar{z}$$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $$z$$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरुपित करता है एवं $$i=\sqrt{-1}$$ है। सम्मिश्र संख्याओं के सम्मुचय (set of complex numbers) में, समीकरण

$$ \bar{z}-z^{2}=i\left(\bar{z}+z^{2}\right) $$

के भित्र मूलों (distinct roots) की संख्या __________ है।

माना कि $$l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{100}$$ सार्वअंतर (common difference) $$d_{1}$$ वाली एक समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) के क्रमागत पद (consecutive terms) हैं, एवं माना कि $$w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{100}$$ सार्वअंतर (common difference) $$d_{2}$$ वाली एक दूसरी समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) के क्रमागत पद हैं, जहाँ $$d_{1} d_{2}=10$$ है । प्रत्येक $$i=1,2, \ldots, 100$$ के लिए, माना कि $$R_{i}$$ एक आयत (rectangle) है जिसकी लम्बाई $$l_{i}$$, चौड़ाई $$w_{i}$$ एवं क्षेत्रफल $$A_{i}$$ हैं। यदि $$A_{51}-A_{50}=1000$$ है, तब $$A_{100}-A_{90}$$ का मान ___________ है।

संवृत अन्तराल (closed interval) [2022, 4482] में अंको $$0,2,3,4,6,7$$ से बनने वाले 4-अंकीय (4-digit) पूर्णांकों (integers) की संख्या ___________ है।

माना कि $$A B C$$ एक त्रिभुज (triangle) है जिसमे $$A B=1, A C=3$$ एवं $$\angle B A C=\frac{\pi}{2}$$ हैं। यदि त्रिज्या (radius) $$r > 0$$ का एक वृत्त (circle) भुजाओं $$A B, A C$$ को स्पर्श करता है एवं त्रिभुज $$A B C$$ के परिवृत्त (circumcircle) को अंदर से स्पर्श (touches internally) करता है, तब $$r$$ का मान __________ है |

समीकरण (equation)

$$\int\limits_{1}^{e} \frac{\left(\log _{\mathrm{e}} x\right)^{1 / 2}}{x\left(a-\left(\log _{\mathrm{e}} x\right)^{3 / 2}\right)^{2}} d x=1, \quad a \in(-\infty, 0) \cup(1, \infty)$$

पर विचार कीजिए। निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

माना कि $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$$ एक सार्वअंतर (common difference) 8 वाली समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) है, जहाँ $$a_{1}=7$$ है । माना कि $$T_{1}, T_{2}, T_{3}, \ldots$$ इस प्रकार से हैं कि $$T_{1}=3$$ एवं सभी $$n \geq 1$$ के लिए $$T_{n+1}-T_{n}=a_{n}$$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

माना कि $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$,

$$ \begin{aligned} & P_{1}: 10 x+15 y+12 z-60=0, \\ & P_{2}: -2 x+5 y+4 z-20=0 \end{aligned} $$

द्वारा दिए गए दो समतल (planes) हैं। निम्र सरल रेखाओं (straight lines) में से कौन सी, ऐसे चतुष्फलक (tetrahedron) का एक किनारा (edge) हो सकती है (है), जिसके दो फलक (faces) $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$ पर स्थित हैं ?

माना कि $$S$$, एक बिंदु $$Q$$ का

$$ \vec{r}=-(t+p) \hat{\imath}+t \hat{\jmath}+(1+p) \hat{k} $$

द्वारा दिए गए समतल के सापेक्ष प्रतिबिंब (reflection) है, जहाँ $$t, p$$ वास्तविक प्राचल (real parameters) हैं एवं $$\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$$ तीन निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) की धनात्मक (positive) दिशाओं में एकक सदिश (unit vectors) हैं। यदि $$Q$$ एवं $$S$$ के स्थिति सदिश (position vectors) क्रमशः $$10 \hat{\imath}+15 \hat{\jmath}+20 \hat{k}$$ एवं $$\alpha \hat{\imath}+\beta \hat{\jmath}+\gamma \hat{k}$$ हैं, तब निम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

परवलय (parabola) $$y^{2}=4 x$$ पर विचार कीजिए । माना कि $$S$$ इस परवलय की नाभि (focus) है। बिंदु $$P=(-2,1)$$ से परवलय पर डाली गईं दो स्पर्श रेखायें (tangents) परवलय को बिंदुओं $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$ पर मिलती हैं। माना कि $$Q_{1}$$ एवं $$Q_{2}$$ क्रमशः रेखाओं $$S P_{1}$$ एवं $$S P_{2}$$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $$P Q_{1}, S P_{1}$$ पर लंब (perpendicular) है, और $$P Q_{2}, S P_{2}$$ पर लंब है। तब निम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

माना कि $$|M|$$ एक वर्ग आव्यूह (square matrix) $$M$$ के सारणिक (determinant) को निरुपित करता है। माना कि फलन (function) $$g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$ g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1} $$

द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ

$$f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _{e}\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _{e}\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$$

है । माना कि $$p(x)$$ एक ऐसा द्विघातीय बहुपद (quadratic polynomial) है जिसके मूल (roots) फलन $$g(\theta)$$ के निम्नतम (minimum) एवं उच्चतम (maximum) मान हैं, एवं $$p(2)=2-\sqrt{2}$$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

निम्न सूचियों पर विचार कीजिए:

	सूची-I		सूची-II
(I)	$$\left\{ {x \in \left[ { - {{2\pi } \over 3},{{2\pi } \over 3}} \right]:\cos x + \sin x = 1} \right\}$$	(P)	में दो अवयव (two elements) हैं
(II)	$$\left\{ {x \in \left[ { - {{5\pi } \over {18}},{{5\pi } \over {18}}} \right]:\sqrt 3 \tan 3x = 1} \right\}$$	(Q)	में तीन अवयव (three elements) हैं
(III)	$$\left\{ {x \in \left[ { - {{6\pi } \over 5},{{6\pi } \over 5}} \right]:2\cos (2x) = \sqrt 3 } \right\}$$	(R)	में चार अवयव (four elements) हैं
(IV)	$$\left\{ {x \in \left[ { - {{7\pi } \over 4},{{7\pi } \over 4}} \right]:\sin x - \cos x = 1} \right\}$$	(S)	में पांच अवयव (five elements) हैं
		(T)	में छह अवयव (six elements) हैं

सही विकल्प है:

दो खिलाड़ी $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$ एक दुसरे के विरुद्ध एक खेल खेलते हैं। इस खेल के प्रत्येक राउंड (round) में दोनों खिलाड़ी एक-एक बार एक न्याय्य पासा (fair die) उछालते हैं, जहाँ पासे के छह फलकों (six faces) पर छह भित्र संख्यायें (six distinct numbers) हैं। माना कि $$x$$ एवं $$y$$ क्रमशः $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$ द्वारा पासे के उछाले जाने पर प्रकट होने वाली संख्याओं को निरुपित करते हैं। यदि $$x > y$$ होता है, तब $$P_{1}$$ को 5 अंक मिलता है एवं $$P_{2}$$ को 0 अंक मिलता है। यदि $$x=y$$ होता है, तब प्रत्येक खिलाड़ी को 2 अंक मिलते हैं। यदि $$x < y$$ होता है, तब $$P_{1}$$ को 0 अंक मिलता है एवं $$P_{2}$$ को 5 अंक मिलता है। माना कि $$i$$-वाँ $$\left(i^{t h}\right)$$ राउंड खेलने के बाद, $$X_{i}$$ एवं $$Y_{i}$$ क्रमशः $$P_{1}$$ एवं $$P_{2}$$ के द्वारा प्राप्त कुल अंक हैं।

	सूची-I		सूची-II
(I)	$$\left(X_{2} \geq Y_{2}\right)$$ होने की प्रायिकता (probability)	(P)	$$\frac{3}{8}$$ है
(II)	$$\left(X_{2} > Y_{2}\right)$$ होने की प्रायिकता	(Q)	$$\frac{11}{16}$$ है
(III)	$$\left(X_{3}=Y_{3}\right)$$ होने की प्रायिकता	(R)	$$\frac{5}{16}$$ है
(IV)	$$\left(X_{3} > Y_{3}\right)$$ होने की प्रायिकता	(S)	$$\frac{355}{864}$$ है
		(T)	$$\frac{77}{432}$$ है

सही विकल्प है:

माना कि $$p, q$$ एवं $$r$$ शून्येतर वास्तविक संख्यायें (nonzero real numbers) हैं जो एक हरात्मक श्रेढ़ी (harmonic progression) के क्रमशः 10 वाँ, 100 वाँ एवं 1000 वाँ पद (terms) हैं। रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations)

$$ \begin{gathered} x+y+z=1 \\ 10 x+100 y+1000 z=0 \\ q r x+p r y+p q z=0 \end{gathered} $$

पर विचार कीजिए।

	सूची-I		सूची-II
(I)	यदि $$\frac{q}{r}=10$$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का	(P)	हल $$x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$$ है
(II)	यदि $$\frac{p}{r} \neq 100$$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का	(Q)	हल $$x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0$$ है
(III)	यदि $$\frac{p}{q} \neq 10$$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का	(R)	अनंत हल (infinitely many solutions) हैं
(IV)	यदि $$\frac{p}{q}=10$$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का	(S)	कोई हल नहीं (no solution) है
		(T)	कम से कम एक हल (at least one solution) है

सही विकल्प है:

दीर्घवृत्त (ellipse)

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$

पर विचार कीजिए। माना कि $$H(\alpha, 0), 0 < \alpha < 2$$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $$H$$ से होती हुई एवं $$y$$-अक्ष के समांतर (parallel to the $$y$$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $$E$$ एवं $$F$$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $$E$$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $$x$$ अक्ष को एक बिंदु $$G$$ पर प्रतिच्छेदित करती है । मान लीजिए कि $$F$$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $$x$$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $$\phi$$ बनाती है।

	सूची-I		सूची-II
(I)	यदि $$\phi=\frac{\pi}{4}$$ है, तब त्रिभुज $$F G H$$ का क्षेत्रफल	(P)	$$\frac{(\sqrt{3}-1)^{4}}{8}$$ है
(II)	यदि $$\phi=\frac{\pi}{3}$$ है, तब त्रिभुज $$F G H$$ का क्षेत्रफल	(Q)	1 है
(III)	यदि $$\phi=\frac{\pi}{6}$$ है, तब त्रिभुज $$F G H$$ का क्षेत्रफल	(R)	$$\frac{3}{4}$$ है
(IV)	यदि $$\phi=\frac{\pi}{12}$$ है, तब त्रिभुज $$F G H$$ का क्षेत्रफल	(S)	$$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$$ है
		(T)	$$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$$ है

सही विकल्प है: