माना कि $$S$$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) $$z$$ का समुच्चय (set) है जो $$|z-2+i| \geq \sqrt{5}$$ को संतुष्ट करती हैं | यदि एक सम्मिश्र संख्या $$z_{0}$$ ऐसी है जिससे $$\frac{1}{\left|z_{0}-1\right|}$$ समुच्चय $$\left\{\frac{1}{|z-1|}: z \in S\right\}$$ का उच्चतम (maximum) है, तब $$\frac{4-\mathrm{z}_{0}-\overline{\mathrm{z}_{0}}}{\mathrm{z}_{0}-\overline{\mathrm{z}_{0}}+2 \mathrm{i}}$$ का मुख्य कोणांक (principal argument) है

माना कि

$$ M=\left[\begin{array}{cc} \sin ^{4} \theta & -1-\sin ^{2} \theta \\ 1+\cos ^{2} \theta & \cos ^{4} \theta \end{array}\right]=\alpha I+\beta M^{-1} $$

जहाँ $$\alpha=\alpha(\theta)$$ और $$\beta=\beta(\theta)$$ वास्तविक (real) संख्याएँ हैं, और $$I$$ एक $$2 \times 2$$ तत्समक-आव्यूह ($$2 \times 2$$ identity matrix) है | यदि

समुच्चय $$\{\alpha(\theta): \theta \in[0,2 \pi)\}$$ का निम्रतम (minimum) $$\alpha^{*}$$ है और

समुच्चय $$\{\beta(\theta): \theta \in[0,2 \pi)\}$$ का निम्नतम (minimum) $$\beta^{*}$$ है,

तो $$\alpha^{*}+\beta^{*}$$ का मान है

एक रेखा $$y=m x+1$$ वृत्त $$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$$ को बिन्दुओं $$P$$ और $$Q$$ पर प्रतिच्छेद करती है । अगर रेखाखण्ड (line segment) $$P Q$$ के मध्यबिंदु का $$x$$-निर्देशांक ( $$x$$-coordinate) $$-\frac{3}{5}$$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा एक विकल्प सही है ?

क्षेत्र $$\left\{(x, y): x y \leq 8,1 \leq y \leq x^{2}\right\}$$ का क्षेत्रफल (area) है

माना कि $$\Gamma$$ एक वक्र $$y=y(x)$$ है जो प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में है और माना कि बिंदु $$(1,0)$$ उस पर स्थित है | माना कि $$\Gamma$$ के बिंदु $$P$$ पर खिंची गयी स्पर्श रेखा (tangent) $$y$$-अक्ष को $$Y_{P}$$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती है | यदि $$\Gamma$$ के प्रत्येक बिंदु $$P$$ के लिए $$P Y_{P}$$ की लम्बाई 1 है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है ( हैं ) ?

दीर्घवृतों (ellipses) $$\left\{E_{1}, E_{2}, E_{3}, \ldots\right\}$$ और आयतों (rectangles) $$\left\{R_{1}, R_{2}, R_{3}, \ldots\right\}$$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करें :

$$E_{1}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$$

$$R_{1}$$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर हैं, और जो $$E_{1}$$ में अंतस्थित (inscribed) है;

$$E_{n}$$ : अधिकतम क्षेत्र वाला दीर्घवृत $$\frac{x^{2}}{a_{n}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{n}^{2}}=1$$ जो $$R_{n-1}, n > 1$$ में अंतस्थित है;

$$R_{n}$$ : अधिकतम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर हैं, और जो $$E_{n}, n > 1$$ में अंतस्थित है।

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं ) ?

एक असमकोणीय त्रिभुज (non-right-angled triangle) $$\triangle P Q R$$ के लिए, माना कि $$p, q, r$$ क्रमशः कोण $$P, Q, R$$ के सामने वाली भुजाओं की लम्बाइयाँ दर्शाती हैं| $$R$$ से खींची गयी माध्यिका (median) भुजा $$P Q$$ से $$S$$ पर मिलती है, $$P$$ से खींचा गया अभिलम्ब (perpendicular) भुजा $$Q R$$ से $$E$$ पर मिलता है, तथा $$R S$$ और $$P E$$ एक दुसरे को $$O$$ पर काटती हैं। यदि $$p=\sqrt{3}, q=1$$ और $$\triangle P Q R$$ के परिवृत्त (circumcircle) की त्रिज्या (radius) 1 है, तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं ) ?

माना कि $$x^{2}-x-1=0$$ के मूल (roots) $$\alpha$$ और $$\beta$$ हैं, जहां $$\alpha > \beta$$ है | सभी धनात्मक पूर्णांको $$n$$ के लिए निम्न को परिभाषित किया गया है

$$ \begin{aligned} & a_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}, \quad n \geq 1, \\ & b_{1}=1 \text { and } b_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2 . \end{aligned} $$

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं) ?

माना कि $$L_{1}$$ और $$L_{2}$$ क्रमशः निम्न रेखाएं हैं:

$$\begin{aligned}& \vec{r}=\hat{i}+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in \mathbb{R} \text { और } \\ & \vec{r}=\mu(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}), \mu \in \mathbb{R}\end{aligned}$$

यदि $$L_{3}$$ एक रेखा है जो $$L_{1}$$ और $$L_{2}$$ दोनों के लम्बवत है और दोनों को काटती है, तब निम्नलिखित विकल्पों में से कौन सा (से) $$L_{3}$$ को निरूपित करता (करते) है ( हैं) ?

तीन थैले (bags) $$B_{1}, B_{2}$$ और $$B_{3}$$ हैं। $$B_{1}$$ थैले में 5 लाल (red) और 5 हरी (green) गेंदें हैं, $$B_{2}$$ में 3 लाल और 5 हरी गेंदें हैं, और $$B_{3}$$ में 5 लाल और 3 हरी गेंदें हैं। थैले $$B_{1}, B_{2}$$ और $$B_{3}$$ के चुने जाने की प्रायिकतायें क्रमशः $$\frac{3}{10}, \frac{3}{10}$$ और $$\frac{4}{10}$$ हैं। एक थैला याद्रिच्छक (at random) लिया जाता है और एक गेंद उस थैले में से याद्रिच्छ्या चुनी जाती है | तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं ) ?

माना कि $$M=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\1 & 2 & 3 \\3 & b & 1\end{array}\right] \text { और } \operatorname{adj} M=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\8 & -6 & 2 \\-5 & 3 & -1\end{array}\right]$$

जहाँ $$a$$ और $$b$$ वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं। निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं ) ?

माना कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ निम्न प्रकार से दिया है

$$ f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{5}+5 x^{4}+10 x^{3}+10 x^{2}+3 x+1, & x<0 \\ x^{2}-x+1, & 0 \leq x<1 \\ \frac{2}{3} x^{3}-4 x^{2}+7 x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x<3 \\ (x-2) \log _{e}(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{aligned}\right. $$

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं ) ?

माना कि $$S$$ ऐसे $$3 \times 3$$ आव्यूहों (matrices) का प्रतिदर्श समिष्ट (sample space) है जिनकी प्रविष्टियाँ (entries) समुच्चय $$\{0,1\}$$ से हैं| माना कि घटनाएँ $$E_{1}$$ एवं $$E_{2}$$ निम्न हैं

$$E_{1}=\{A \in S: \operatorname{det} A=0\}$$ और

$$E_{2}=\{A \in S: A$$ की प्रविष्टियों का कुल योग 7 है }.

यदि एक आव्यूह $$S$$ से याह््छिक (randomly) चुना जाता है तब सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) $$P\left(E_{1} \mid E_{2}\right)$$ बराबर ____________

माना कि बिंदु $$B$$ रेखा $$8 x-6 y-23=0$$ के सापेक्ष बिन्दु $$A(2,3)$$ का प्रतिबिम्ब (reflection) है। माना कि $$\Gamma_{A}$$ और $$\Gamma_{B}$$ क्रमशः त्रिज्याएँ 2 और 1 वाले वृत्त हैं जिनके केंद्र क्रमशः $$A$$ और $$B$$ हैं। माना कि वृत्तों $$\Gamma_{A}$$ और $$\Gamma_{B}$$ की एक ऐसी उभयनिष्ठ-स्पर्श (common tangent) रेखा $$T$$ है, दोनों वृत्त जिसके एक ही तरफ हैं| यदि $$C$$, बिन्दुओं $$A$$ और $$B$$ से जाने वाली रेखा और $$T$$ का प्रतिच्छेद बिंदु है, तब रेखाखण्ड (line segment) $$A C$$ की लम्बाई है __________

माना कि $$\omega \neq 1$$ एकक का एक घनमूल (a cube root of unity) है| तब समुच्चय (set) $$\{ |a + b\omega + c{\omega ^2}{|^2}:a,b,c$$ भित्न अशून्य पूर्णांक (distinct non-zero integers) हैं } का निम्नतम (minimum) बराबर __________

यदि

$$I=\frac{2}{\pi} \int_\limits{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{d x}{\left(1+e^{\sin x}\right)(2-\cos 2 x)}$$

तब $$27~ I^{2}$$ बराबर ___________

तीन रेखाएं क्रमशः

$$\begin{aligned}\vec{r} & =\lambda \hat{i}, \lambda \in \mathbb{R}, \\\vec{r} & =\mu(\hat{i}+\hat{j}), \quad \mu \in \mathbb{R} \text { और } \\\vec{r} & =v(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}), \quad v \in \mathbb{R}\end{aligned}$$

द्वारा दी गयी हैं। माना कि रेखाएं समतल (plane) $$x+y+z=1$$ को क्रमशः बिन्दुओं $$A, B$$ और $$C$$ पर काटती हैं। यदि त्रिभुज $$A B C$$ का क्षेत्रफल $$\triangle$$ है तब $$(6 \Delta)^{2}$$ का मान बराबर ___________

माना कि $$A P(a ; d)$$ एक अनंत समान्तर श्रेणी (infinite arithmetic progression) के पदों का समुच्चय (set) है जिसका प्रथम पद $$a$$ तथा सर्वान्तर (common difference) $$d > 0$$ है | यदि

$$A P(1 ; 3) \cap A P(2 ; 5) \cap A P(3 ; 7)=A P(a ; d)$$

है, तब $$a+d$$ बराबर ____________