माना $\mathrm{A}=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ है और A पर एक संबंध $\mathrm{R}, x \mathrm{R} y$ यदि और केवल यदि $2 x-y \in\{0,1\}$ है, द्वारा परिभाषित है। माना R में अवयवों की संख्या $l$ है। माना संबंध R को स्वतुल्य और सममित बनाने के लिए इसमें जोड़े जाने वाले आवश्यक अवयवों की न्यूनतम संख्या क्रमशः m और n है। तो $l+\mathrm{m}+\mathrm{n}$ बराबर है :

माना फलनों $f(x)=\log _4 \log _3 \log _7\left(8-\log _2\left(x^2+4 x+5\right)\right)$ और $g(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{7 x+10}{x-2}\right)$ के प्रांत क्रमशः $(\alpha, \beta)$ और $[\gamma, \delta]$ हैं। तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2$ बराबर है :

माना प्रेक्षणों $2,3,3,4,5,7, \mathrm{a}, \mathrm{b}$ के माध्य और मानक विचलन क्रमशः 4 और $\sqrt{2}$ हैं। तो इन प्रेक्षणों का बहुलc के सापेक्ष माध्य विचलन है :

माना अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ पर बिंदु $\mathrm{P}(4,3)$ की नाभीय दूरिओं का योग $8 \sqrt{\frac{5}{3}}$ है। यदि अतिपरवलय H की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है और इस पर बिंदु P की नाभीय दूरिओं का गुणनफल m है, तो $9 l^2+6 \mathrm{~m}$ बराबर है।

माना $\mathrm{a}>0$ है। यदि फलन $f(x)=6 x^3-45 \mathrm{a} x^2+108 \mathrm{a}^2 x+1$ के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान बिंदुओं $x_1$ और $x_2$ पर प्राप्त करता है और $x_1 x_2=54$ है, तो $\mathrm{a}+x_1+x_2$ बराबर है :

माना आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{A}^{\mathrm{n}}=\mathrm{A}^{\mathrm{n}-2}+\mathrm{A}^2-\mathrm{I}, \mathrm{n} \geqslant 3$ को संतुष्ट करता है। तो $\mathrm{A}^{50}$ के सभी अवयवों का योग है :

यदि एक वक्र $y=y(x)$ बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$ से होकर जाता है और अवकल समीकरण $\left(7 x^4 \cot y-\mathrm{e}^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=x^5, x \geq 1$, को संतुष्ट करता है, तो $x=2$ पर $\cos y$ का मान है :

यदि श्रेणी $\frac{4 \cdot 1}{4+3 \cdot 1^2+1^4}+\frac{4 \cdot 2}{4+3 \cdot 2^2+2^4}+\frac{4 \cdot 3}{4+3 \cdot 3^2+3^4}+\frac{4 \cdot 4}{4+3 \cdot 4^2+4^4}+\ldots$ के प्रथम 20 पदों का योग $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ है, जहाँ m और n असहभाज्य हैं, तो $\mathrm{m}+\mathrm{n}$ बराबर है :

माना p के दो भिन्न मानों के लिए रेखाएँ $y=x+\mathrm{p}$, दीर्घवृत्त $\mathrm{E}: \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ को बिंदुओं A और B पर स्पर्श करती हैं। माना रेखा $y=x$, दीर्घवृत्त E को बिंदुओं C और D पर प्रतिच्छेद करती है। तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :

एक वृत्त $C$ का केन्द्र, दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$, के केन्द्र पर है। माना वृत्त $C$, दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $\mathrm{F}_2$ से होकर जाता है और दीर्घवृत्त E को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। माना P इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज $\mathrm{PF}_1 \mathrm{~F}_2$ का क्षेत्रफल 30 है और E के दीर्घ अक्ष की लंबाई 17 है, तो E की नाभियों के बीच दूरी है :

बिंदु $\mathrm{A}(-2,0)$ से होकर जाने वाली एक रेखा परवलय $\mathrm{P}: y^2=x-2$ को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु B पर स्पर्श करती है। रेखा AB , परवलय P और $x$-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना $\omega_1=(8+i) \sin \theta+(7+4 i) \cos \theta$ और $\omega_2=(1+8 i) \sin \theta+(4+7 i) \cos \theta, i=\sqrt{-1}$, का गुणनफल $\alpha+i \beta$ है। माना $\alpha+\beta$ के अधिकतम और न्यूनतम माना क्रमश: p और q हैं। तो $\mathrm{p}+\mathrm{q}$ बराबर है :

यदि $1^2 \cdot\left({ }^{15} \mathrm{C}_1\right)+2^2 \cdot\left({ }^{15} \mathrm{C}_2\right)+3^2 \cdot\left({ }^{15} \mathrm{C}_3\right)+\ldots+15^2 \cdot\left({ }^{15} \mathrm{C}_{15}\right)=2^{\mathrm{m}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{k}}$, जहाँ $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{k} \in \mathrm{N}$ है, तो $\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{k}$ बराबर है :

माना रेखाओं $\mathrm{L}_1: \frac{x-7}{1}=\frac{y-5}{0}=\frac{z-3}{-1}$ और $\mathrm{L}_2: \frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{4}=\frac{z+7}{5}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु A है । माना रेखाओं $\mathrm{L}_1$ और $\mathrm{L}_2$ पर क्रमशः बिंदु B और C इस प्रकार हैं कि $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{15}$ है। तो त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का वर्ग है :

अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots$. का योग है :

एक परवलय का अक्ष $y=x$ है तथा इसके शीर्ष और नाभि प्रथम चतुर्थांश मे मूल बिंदु से क्रमशः $\sqrt{2}$ और $2 \sqrt{2}$ की दूरी पर हैं। यदि बिंदु $(1, k)$ परवलय पर है, तो $k$ का एक संभव मान है :

माना $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2+5$ और $2 g(x)-3 g\left(\frac{1}{2}\right)=x, x>0$ हैं। यदि $\alpha=\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$, और $\beta=\int_1^2 g(x) \mathrm{d} x$ हैं, तो $9 \alpha+\beta$ का मान है :

दो समुच्चयों A और B का विचार कीजिए। दोनों में A.P. में तीन संख्याएँ हैं। माना A के अवयवों का योग और गुणनफल क्रमशः 36 और $p$ हैं तथा $B$ के अवयवों का योग और गुणनफल क्रमशः 36 और $q$ हैं। माना $A$ और $B$ में $A P^{\prime} s$ के सार्वअंतर क्रमशः $d$ और $D$ हैं, जिनके लिए $D=d+3, d>0$ हैं। यदि $\frac{p+q}{p-q}=\frac{19}{5}$ है, तो $p-q$ बराबर है :

माना p के मान, जिनके लिए रेखाओं $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{p} \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ के बीच न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है, $\mathrm{a}, \mathrm{b},(\mathrm{a}<\mathrm{b})$ हैं। तो दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

माना $\mathbf{R}$ पर अवकलनीय एक फलन $f$ के लिए $f(2)=1, f^{\prime}(2)=4$ हैं। माना $\lim _{x \rightarrow 0}(f(2+x))^{3 / x}=\mathrm{e}^\alpha$ है। तो वक्र $y=4 x^3-4 x^2-4(\alpha-7) x-\alpha, x$-अक्ष को कितनी बार मिलता है ?

यदि $\int \frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{10}}{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^9} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\mathrm{~m}}\left(\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{n} \sqrt{1+x^2}-x\right)\right)+\mathrm{C}$ है, जहाँ C समाकलन अचर है और $\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbf{N}$ हैं, तो $\mathrm{m}+\mathrm{n}$ बराबर है __________ I

ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता खो गया है। शेष 51 पत्तों में से n पत्ते निकाले गए और ये हुकुम के पत्ते पाए गए। यदि खोए पत्ते के हुकुम का होने की प्रायिकता $\frac{11}{50}$ है, तो n बराबर है _________ ।

माना एक त्रिभुज ABC की तीन भुजाएँ सदिशों $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। माना त्रिभुज ABC का केन्द्रक G है। तो $6\left(|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BG}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{CG}}|^2\right)$ बराबर है _________ I

यदि समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल $\alpha$ है और $\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\left(\alpha^{\mathrm{k}}+\frac{1}{\alpha^{\mathrm{k}}}\right)^2=20$ है, तो n बराबर है ________ |

माना $m$ और $n,(m< n)$ दो 2-अंकों की संख्याएँ हैं। तो क्रमित युग्मों $(m, n)$, जिनके लिए $g c d(m, n)=6$ है, की कुल संख्या है _________ |