$$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{e^{2|\sin x|}-2|\sin x|-1}{x^2}$$

$$\alpha, \beta, \gamma \neq 0$$, के लिए, यदि $$\sin ^{-1} \alpha+\sin ^{-1} \beta+\sin ^{-1} \gamma=\pi$$ हे तथा $$(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta) =3 \alpha \beta$$ है, तो $$\gamma$$ बराबर है।

माना $$a$$ के धन पूर्णांक मानों, जिन के लिए $$\frac{a x^2+2(a+1) x+9 a+4}{x^2-8 x+32}<0, \forall x \in \mathbb{R}$$ है, का समच्चय $$S$$ है। तो $$S$$ में अवयवों की संख्या है।

माना $$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in Z$$ हैं तथा माना एक समांतर चतुर्भुज $$\mathrm{ABCD}$$ के शीर्ष $$A(\alpha, \beta), B(1,0), C(\gamma, \delta)$$ तथा $$D(1,2)$$ हें। यदि $$A B=\sqrt{10}$$ हे तथा बिंदु $$\mathrm{A}$$ और $$\mathrm{C}$$, रेखा $$3 y=2 x+1$$ पर हें, तो $$2(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$$ बराबर है।

$$0< c< b < a$$, के लिए माना $$(a+b-2 c) x^2+(b+c-2 a) x+(c+a-2 b)=0$$ का एक मूल $$\alpha \neq 1$$ है। तो दो कथनों

(I) यदि $$a \in(-1,0)$$ हे, तो $$a$$ तथा $$c$$ का गुणोत्तर माध्य $$b$$ नहीं हो सकता।

(II) यदि $$\alpha \in(0,1)$$ हे, तो $$a$$ तथा $$c$$ का गुणोत्तर माध्य $$b$$ हो सकता है।

यदि $$f(x)=\frac{4 x+3}{6 x-4}, x \neq \frac{2}{3}$$ तथा $$(f \circ f)(x)=g(x)$$, हैं, जहाँ $$g: \mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\}$$ है, तो $$(g \circ g \circ g)(4)$$ बराबर हे।

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=\frac{(\tan x)+y}{\sin x(\sec x-\sin x \tan x)}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ के हल $$y=y(x)$$ के लिए $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$$ हे। तो $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ बराबर हे।

तीन गले हुए सेव गलती से $$15$$ अच्छे सेव में मिल गए। इनमें से दो सेव निकालने पर गले हुए निकले सेव की संख्या को याहच्छय चर $$x$$ मान लीजिए। तो $$x$$ का प्रसरण है।

माना तीन सदिश $$\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}+7 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$$ हैं। यदि एक सदिश $$\vec{p}$$ के लिए $$\vec{p} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{b}$$ तथा $$\vec{p} \cdot \vec{a}=0$$ हैं, तो $$\vec{p} \cdot(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$$ बराबर है।

श्रेणी $$\frac{1}{1-3 \cdot 1^2+1^4}+\frac{2}{1-3 \cdot 2^2+2^4}+\frac{3}{1-3 \cdot 3^2+3^4}+\ldots 10$$ पदों तक का योग है।

एक ड़ब्बे में 10 लाल, 30 सफेद, 20 नीली तथा 15 नारंगी मारबल हैं। इसमें से दो मारबल, प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। तो पहले मारबल के लाल तथा दूसरे मारबल के सफेद होने की प्रायिकता है।

बिंदु $$\mathrm{P}(5,-4,3)$$ से होकर जाने वाली तथा रेखाओं

$$\vec{r}=(-3 \hat{i}+2 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}), \lambda \in \mathbb{R}$$ तथा

$$\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})+\mu(-\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}), \mu \in \mathbb{R}$$ के तंबवत रेखा से बिंदु $$\mathrm{Q}(0,2,-2)$$ की दूरी हे।

यदि रैखिक समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x-2 y+z=-4 \\ & 2 x+\alpha y+3 z=5 \\ & 3 x-y+\beta z=3 \end{aligned}$$

के अनंत हल हैं, तो $$12 \alpha+13 \beta$$ बराबर है।

माना $$g(x)$$ एक रेखिक फलन है तथा $$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x>0\end{array}, x=0\right.$$ पर संतत है। यदि $$f^{\prime}(1)=f(-1)$$ है, तो $$g(3)$$ का मान है।

क्षेत्र $$\left\{(x, y): y^2 \leq 4 x, x<4, \frac{x y(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}>0, x \neq 3\right\}$$ का श्रेत्रफल है।

बिंदु $$(e, 1)$$ से होकर जाने वाला, अवकल समीकरण $$y \frac{d x}{d y}=x\left(\log _e x-\log _e y+1\right), x>0, y>0$$ का हल वक्र है

माना $$\left(1-2 x+2 x^2\right)^{2023}\left(3-4 x^2+2 x^3\right)^{2024}$$ के प्रसार मे सभी पदों के गुणांकों का योग $$a$$ है तथा $$b=\lim _\limits{x \rightarrow 0}\left(\frac{\int_\limits0^x \frac{\log (1+t)}{t^{2024}+1} d t}{x^2}\right)$$ है। यदि समीकरणों $$c x^2+d x+e=0$$ तथा $$2 b x^2+a x +4=0$$ का एक उभ्यानिष्ठ मूल है, जहाँ $$c, d, e \in \mathbb{R}$$ हैं, तो $$\mathrm{d}: \mathrm{c}: \mathrm{e}$$ बराबर है।

यदि सभी $$x \in \mathbb{R}$$ के लिए, $$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}x^3 & 2 x^2+1 & 1+3 x \\ 3 x^2+2 & 2 x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2\end{array}\right|$$ है, तो $$2 f(0)+f^{\prime}(0)$$ बराबर है।

यदि वृत्त $$x^2+y^2-10 x+4 y+13=0$$ का एक व्यास, एक दूसरे वृत्त C, जिसका केन्द्र, रेखाओं $$2 x+3 y=12$$ तथा $$3 x-2 y=5$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, की एक जीवा है, तो वृत्त C को त्रिज्या है :

यदि एक अतिपरवलय की नाभियॉ. दीर्धवृत्त $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$$ की नाभियों के समान हैं तथा अतिपरवलय की उत्केन्द्रता, दीर्धवृत्त की उत्केन्द्रता का $$\frac{15}{8}$$ गुना है, तो अतिपरवलय पर बिंदु $$\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$$ की छोटी नाभीय दूरी बराबर है

यदि $$|1-i|^x=2^x$$ के हलों की संख्या $$\alpha$$ है तथा $$\beta=\left(\frac{|z|}{\arg (z)}\right)$$ है, जहाँ $$z=\frac{\pi}{4}(1+i)^4\left[\frac{1-\sqrt{\pi} i}{\sqrt{\pi}+i}+\frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi} i}\right], i=\sqrt{-1}$$ है, तो रेखा $$4 x-3 y=7$$ से बिंदु $$(\alpha, \beta)$$ की दूरी है __________

$$(1+x)\left(1-x^2\right)\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^5, x \neq 0$$, के प्रसार में $$x^3$$ तथा $$x^{-13}$$ के गुणांकों का योग है ________

माना दो सदिशों $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के लिए $$|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4$$, तथा $$\vec{a} \cdot \vec{b}=2$$ हैं। यदि $$\vec{c}=(2 \vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$$ है तथा $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ है के बीच कोण $$\alpha$$ है, तो $$192 \sin ^2 \alpha$$ बराबर है ________

यदि समाकलन $$525 \int_\limits0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \cos ^{\frac{11}{2}} x\left(1+\operatorname{Cos}^{\frac{5}{2}} x\right)^{\frac{1}{2}} d x=(n \sqrt{2}-64)$$ है, तो $$n$$ बराबर है _________.

माना $$S=(-1, \infty)$$ हे तथा $$f(x)=\int_\limits{-1}^x\left(e^t-1\right)^{11}(2 t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2 t-10)^{61} d t$$, द्वारा परिभाषित फलन $$f: S \rightarrow \mathbb{R}$$ हे।

माना $$\mathrm{p}=x$$ के उन मानों, जहाँ $$f, S$$ पर स्थानीय उच्चत्तम प्राप्त करता है, के वर्गो को योग है। तथा $$\mathrm{q}=\mathrm{x}$$ के उन मानों, जहाँ $$f, S$$ पर स्थानीय न्यूनतम प्राप्त करता है, का योग है। तो $$\mathrm{p}^2+2 q$$ का मान है _________

माना बिंदु $$\mathrm{P}(a, a, a)$$ से रेखाओं $$x=y, z=1$$ तथा $$x=-y, z=-1$$ पर डाले गए लंबों के पाद क्रमश $$\mathrm{Q}$$ तथा $$\mathrm{R}$$ हें। यदि $$\angle \mathrm{QPR}$$ एक समकोण है, तो $$12 a^2$$ बराबर है _________

माना एक दीर्धवृत्त $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$$, की नाभियाँ तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः $$( \pm 5,0)$$ तथा $$\sqrt{50}$$ हैं। तो अतिपरवलय $$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2 b^2}=1$$ की उत्केन्द्रता का वर्ग बराबर है _________

'DISTRIBUTION' शब्द के अक्षरों से चार अक्षरों के बनाए जा सकने वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की कुल संख्या है ________

माना $$A=\{1,2,3,4\}$$ है तथा $$\mathrm{A}$$ पर एक संबंध $$R=\{(1,2),(2,3),(1,4)\}$$ है। माना $$\mathrm{A}$$ पर एक तुल्यता संबंध $$\mathrm{S}$$ हे, $$R \subset S$$ हे तथा $$\mathrm{S}$$ में अवयवों की संख्या $$\mathrm{n}$$ है। तो $$\mathrm{n}$$ का निम्नतम मान है _______

माना फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$$ द्वारा परिभाषित हे तथा $$M=\int_\limits{f(a)}^{f(1-a)} x \sin ^4(x(1-x)) d x, N=\int_\limits{f(a)}^{f(1-a)} \sin ^4(x(1-x)) d x ; a \neq \frac{1}{2}$$ हैं। यदि $$\alpha M=\beta N, \alpha, \beta \in \mathbb{N}$$ हैं, तो $$\alpha^2+\beta^2$$ का न्यूनतम मान है _________