माना अवकल समीकरण $$x \mathrm{~d} y=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x, x>0$$ का हल वक्र, रेखा $$x=1$$ को $$y=0$$ पर तथा रेखा $$x=2$$ को $$y=\alpha$$ पर काटता है। तो $$\alpha$$ का मान है :

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के केवल मुख्य मान लेते हुए, फलन $$f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{x^{2}-4 x+2}{x^{2}+3}\right)$$ का प्रांत है :

माना सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=(1+\mathrm{t}) \hat{i}+(1-\mathrm{t}) \hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=(1-\mathrm{t}) \hat{i}+(1+\mathrm{t}) \hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{t} \hat{i}-\mathrm{t} \hat{j}+\hat{k}, \mathrm{t} \in \mathbf{R}$$ इस प्रकार है कि $$\alpha, \beta, \gamma \in \mathbf{R}$$, के लिए $$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$$. तो $$\mathrm{t}$$ के सभी मानों का समुच्चय :

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मान लेते हुए समीकरण $$\cos ^{-1}(x)-2 \sin ^{-1}(x)=\cos ^{-1}(2 x)$$ के सभी हलों का योग है :

माना एक सदिश $$\vec{a}$$ का परिमाण 9 है। माना एक सदिश $$\vec{b}$$ इस प्रकार है कि प्रत्येक $$(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}-\{(0,0)\}$$ के लिए, सदिश $$(x \vec{a}+y \vec{b})$$, सदिश $$(6 y \vec{a}-18 x \vec{b})$$ के लंबवत है। तो $$|\vec{a} \times \vec{b}|$$ का मान बराबर है :

$$t \in(0,2 \pi)$$ के लिए, यदि शीर्षों $$\mathrm{A}(\sin t,-\cos t), \mathrm{B}(\cos t, \sin t)$$ तथा $$\mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$ के एक समबाहु त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ का लंब केन्द्र, एक वृत्त जिसका केन्द्र $$\left(1, \frac{1}{3}\right)$$ है, पर स्थित है, तो $$\left(a^{2}-b^{2}\right)$$ बराबर है :

$$\alpha \in \mathbf{N}$$ के लिए, $$\mathbf{N}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}, \mathrm{R}=\{(x, y): 3 x+\alpha y, 7$$ का एक गुणज़ है $$\}$$ द्वारा दिया गया है। संबंध $$\mathrm{R}$$ एक तुल्यता संबंध है यदि और केवल यदि :

$$60 \%$$ महिला तथा $$40 \%$$ पुरुष अभ्यार्थियों द्वारा दी गई एक परीक्षा में $$60 \%$$ अभ्यर्थी सफल होते हैं। परीक्षा में सफल होने वाली महिलाओं की संख्या, परीक्षा में सफल होने वाले पुरुषों की संख्या की दो गुना है। सफल अभ्यार्थियों में से एक अभ्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है। चुने गए अभ्यार्थी के महिला होने की प्रायिकता है :

यदि अवकल समीकरण

$$\left(\sin ^{2} 2 x\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\left(8 \sin ^{2} 2 x+2 \sin 4 x\right) y=2 \mathrm{e}^{-4 x}(2 \sin 2 x+\cos 2 x), x \in(0, \pi / 2), y(\pi / 4)=\mathrm{e}^{-\pi}$$

का हल वक्र $$y=y(x)$$ है, तो $$y(\pi / 6)$$ बराबर है :

माना वृत्त $$x^{2}+y^{2}-x+2 y=\frac{11}{4}$$ का केन्द्र $$\mathrm{C}$$ है तथा वृत्त पर एक बिंदु $$\mathrm{P}$$ है। एक रेखा, बिंदु $$\mathrm{C}$$ से होकर जाती है, रेखा $$\mathrm{CP}$$ से $$\frac{\pi}{4}$$ का कोण बनाती है तथा वृत्त को बिंदुओं $$\mathrm{Q}$$ तथा $$\mathrm{R}$$ पर काटती है । तो त्रिभुज $$\mathrm{P Q R}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है :

$$7^{2022}+3^{2022}$$ को 5 से विभाजित करने पर शेषफल है :

माना $$S_{1}=\left\{z_{1} \in \mathbf{C}:\left|z_{1}-3\right|=\frac{1}{2}\right\}$$ तथा $$S_{2}=\left\{z_{2} \in \mathbf{C}:\left|z_{2}-\right| z_{2}+1||=\left|z_{2}+\right| z_{2}-1||\right\}$$ हैं। तो। $$z_{1}$$ $$\epsilon S_{1}$$ तथा $$z_{2} \in S_{2}$$ के लिए, $$\left|z_{2}-z_{1}\right|$$ का निम्नतम मान है :

यदि $$f(x)=\frac{5 x^{2}}{2}+\frac{\alpha}{x^{5}}, x>0$$, का निम्नतम मान 14 है, तो $$\alpha$$ का मान बराबर है :

माना $$\alpha, \beta$$ तथा $$\gamma$$ तीन घनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। माना $$f(x)=\alpha x^{5}+\beta x^{3}+\gamma x, x \in \mathbf{R}$$ तथा $$g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ इस प्रकार हैं कि सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए $$g(f(x))=x$$ है। यदि $$\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$$ एक संमातर श्रेढ़ी में है, जिनका माध्य शुन्य है, तो $$f\left(g\left(\frac{1}{\mathrm{n}} \sum\limits_{i=1}^{\mathrm{n}} f\left(\mathrm{a}_{i}\right)\right)\right)$$ का मान बराबर है :

दो बार अवकलनीय फलन $$f(x)=\int\limits_{0}^{x} \mathrm{e}^{x-\mathrm{t}} f^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}-\left(x^{2}-x+1\right) \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbf{R}$$ का निम्नतम मान है :

माना छः से आठ चिन्ह (characters) लंबे सभी संकेत-शब्दों (passwords), जिनमें प्रत्येक चिन्ह $$\{\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$$, $$\mathrm{D}, \mathrm{E}\}$$ से एक अक्षर या $$\{1,2,3,4,5\}$$ से एक अंक है तथा जिनमें चिन्हों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, का समुच्चय $$\mathrm{S}$$ है। यदि $$\mathrm{S}$$ में उन संकेत-शब्दों, जिनका कम से कम एक चिन्ह $$\{1,2,3,4,5\}$$ में से एक अंक है, की संख्या $$\alpha \times 5^{6}$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है ___________ |

माना $$\mathrm{P}(-2,-1,1)$$ तथा $$\mathrm{Q}\left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)$$ एक समचतुर्भुज $$\mathrm{PRQS}$$ के शीर्ष हैं। यदि विकर्ण $$\mathrm{RS}$$ के दिक-अनुपात $$\alpha,-1, \beta$$ हैं, जहाँ $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ दोनों निम्नतम निरपेक्ष मान के पूर्णांक हैं, तो $$\alpha^{2}+\beta^{2}$$ बराबर है _____________ |

माना एक फलन $$f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$$, अंतराल $$(0,1)$$ में दो बार अवकलनीय है तथा $$f(0)=3, f(1)=5$$ हैं। यदि रेखा $$y=2 x+3, f$$ के ग्राफ को $$(0,1)$$ में केवल दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है, तो बिंदुओं $$x \in(0,1)$$ की न्यूनतम संख्या, जिन पर $$f^{\prime \prime}(x)=0$$ है, है __________ |

यदि $$\int\limits_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} \mathrm{~d} x=\alpha \sqrt{2}+\beta \sqrt{3}$$ है, जहाँ $$\alpha, \beta$$ पूर्णांक है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है _______________ |

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & \alpha\end{array}\right]$$ तथा $$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}\beta & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \alpha, \beta \in \mathbf{R}$$ हैं। माना $$(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{2}=\mathrm{A}^{2}+\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$$ को संतुष्ट करने वाला $$\alpha$$ का मान $$\alpha_{1}$$ है तथा $$(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{2}=\mathrm{B}^{2}$$ को संतुष्ट करने वाला $$\alpha$$ का मान $$\alpha_{2}$$ हैं। तो $$\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|$$ बराबर है ___________ |

$$\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbf{R}, \mathrm{q}>0$$, के लिए वास्तविक मान फलन $$f(x)=(x-\mathrm{p})^{2}-\mathrm{q}, x \in \mathbf{R}$$ का विचार कीजिए। माना $$\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}$$, $$\mathrm{a}_{3}$$ तथा $$\mathrm{a}_{4}$$ एक घनात्मक सार्व अंतर की संमातर श्रेढ़ी में हैं तथा इनका माध्य $$\mathrm{p}$$ है। यदि $$i=1,2,3,4$$ के लिए $$\left|f\left(\mathrm{a}_{i}\right)\right|=500$$ है, तो $$f(x)=0$$ के मूलों का निरपेक्ष अंतर है _____________.

माना $$x_{1}=3, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{20}$$ एक गुणोत्तर श्रोढ़ी में हैं, जिसका सार्व अनुपात $$\frac{1}{2}$$ है। प्रत्येक $$x_{i}$$ की जगह $$\left(x_{i}-i\right)^{2}$$ लेकर नये आंकड़ें बनाए जाते हैं। यदि नये आंकड़ों का माध्य $$\bar{x}$$ है तो महत्तम पूर्णांक $$\leq \bar{x}$$ है _____________ |

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)}\right)^{\frac{100}{x}}$$ बराबर है ___________ |

$$x$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$\frac{3 x^{2}-9 x+17}{x^{2}+3 x+10}=\frac{5 x^{2}-7 x+19}{3 x^{2}+5 x+12}$$ है, का योग बराबर है ____________ |