मान लीजिए कि

$$\begin{gathered}S_{1}=\{(i, j, k): i, j, k \in\{1,2, \ldots, 10\}\}_{,} \\S_{2}=\{(i, j): 1 \leq i < j+2 \leq 10, i, j \in\{1,2, \ldots, 10\}\}, \\S_{3}=\{(i, j, k, l): 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in\{1,2, \ldots, 10\}\}\end{gathered}$$

और

$$S_{4}=\{(i, j, k, l): i, j, k$$ और $$l,\{1,2, \ldots, 10\}$$ में भित्र (distinct) अवयवों (elements) हैं$$\}$$

यदि $$r=1,2,3,4$$ के लिए समुच्चय $$S_{r}$$ में कुल अवयवों की संख्या $$n_{r}$$ है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

एक त्रिभुज $$P Q R$$ पर विचार कीजिए जिसमें कोणों $$P, Q$$ और $$R$$ के सम्मुख (opposite) भुजाओं की लम्बाइयाँ क्रमशः $$p, q$$ और $$r$$ हैं | तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $$f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$$ एक ऐसा संतत फलन (continuous function) है कि $$f(0)=1 \text { और } \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f(t) d t=0$$ तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

किसी भी वास्तविक संख्याओं $$\alpha$$ और $$\beta$$ के लिए, मान लीजिए कि $$y_{\alpha, \beta}(x), x \in \mathbb{R}$$, अवकल समीकरण (differential equation)

$$\frac{d y}{d x}+\alpha y=x e^{\beta x}, \quad y(1)=1$$

का हल है | मान लीजिए कि $$S=\left\{y_{\alpha, \beta}(x): \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right\}$$ है| तब निम्न फलनों (functions) में से कौन से (सा) समुच्चय (set) $$S$$ में हैं (है) ?

मान लीजिए कि $$O$$ मूल बिंदु (origin) है तथा $$\overrightarrow{O A}=2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \overrightarrow{O B}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k}$$ और, किसी एक $$\lambda > 0$$ के लिए $$\overrightarrow{O C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}-\lambda \overrightarrow{O A})$$ हैं| यदि $$|\overrightarrow{O B} \times \overrightarrow{O C}|=\frac{9}{2}$$ है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि परवलय (parabola) $$y^{2}=8 x$$ को $$E$$ द्वारा निरुपित किया जाता है। मान लीजिए कि $$P=(-2,4)$$, और मान लीजिए कि $$E$$ पर $$Q$$ और $$Q'$$ दो ऐसी भित्न (distinct) बिंदु हैं कि रेखाएँ $$P Q$$ और $$P Q', E$$ पर स्पर्श रेखाएँ (tangents) हैं। मान लीजिए कि $$E$$ की नाभि (focus) $$F$$ है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

क्षेत्र $$R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x \geq 0\right.$$ और $$\left.y^{2} \leq 4-x\right\}$$ पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि $$\mathcal{F}$$ उन सभी वृत्तों का कुल (family of circles) है जो $$R$$ में अंतर्विष्ट हैं और जिनके केंद्र (centers) $$x$$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए कि $$\mathcal{F}$$ में विद्यमान वृत्तों में सबसे अधिक त्रिज्या वाले वृत्त को $$C$$ से निरुपित किया जाता है । मान लीजिए कि $$(\alpha, \beta)$$ एक ऐसा बिंदु है जहां वृत्त $$C$$, वक्र $$y^{2}=4-x$$ को मिलता है ।

वृत्त $$C$$ की त्रिज्या का मान ________ है।

क्षेत्र $$R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x \geq 0\right.$$ और $$\left.y^{2} \leq 4-x\right\}$$ पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि $$\mathcal{F}$$ उन सभी वृत्तों का कुल (family of circles) है जो $$R$$ में अंतर्विष्ट हैं और जिनके केंद्र (centers) $$x$$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए कि $$\mathcal{F}$$ में विद्यमान वृत्तों में सबसे अधिक त्रिज्या वाले वृत्त को $$C$$ से निरुपित किया जाता है । मान लीजिए कि $$(\alpha, \beta)$$ एक ऐसा बिंदु है जहां वृत्त $$C$$, वक्र $$y^{2}=4-x$$ को मिलता है ।

$$\alpha$$ का मान ________ है।

मान लीजिए कि $$f_{1}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ और $$f_{2}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$,

$$f_{1}(x)=\int_\limits{0}^{x} \prod_\limits{j=1}^{21}(t-j)^{j} d t, \quad x > 0$$

और

$$f_{2}(x)=98(x-1)^{50}-600(x-1)^{49}+2450, \quad x > 0$$

द्वारा परिभाषित है, जहां किसी भी धन पूर्णांक (positive integer) $$n$$ और वास्तविक संख्याओं $$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$$ के लिए, $$\prod_{i=1}^{n} a_{i}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$$ के गुणनफल को निरुपित करता है | मान लीजिए कि $$m_{i}$$ और $$n_{i}$$, क्रमशः अंतराल $$(0, \infty)$$ में फलन $$f_{i}, i=1,2$$, के स्थानीय न्यूनतम (local minima) बिंदुओं की संख्या और स्थानीय अधिकतम (local maxima) बिंदुओं की संख्या को निरुपित करते हैं।

$$2 m_{1}+3 n_{1}+m_{1} n_{1}$$ का मान ________ है।

मान लीजिए कि $$f_{1}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ और $$f_{2}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$,

$$f_{1}(x)=\int_\limits{0}^{x} \prod_\limits{j=1}^{21}(t-j)^{j} d t, \quad x > 0$$

और

$$f_{2}(x)=98(x-1)^{50}-600(x-1)^{49}+2450, \quad x > 0$$

द्वारा परिभाषित है, जहां किसी भी धन पूर्णांक (positive integer) $$n$$ और वास्तविक संख्याओं $$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$$ के लिए, $$\prod_{i=1}^{n} a_{i}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$$ के गुणनफल को निरुपित करता है | मान लीजिए कि $$m_{i}$$ और $$n_{i}$$, क्रमशः अंतराल $$(0, \infty)$$ में फलन $$f_{i}, i=1,2$$, के स्थानीय न्यूनतम (local minima) बिंदुओं की संख्या और स्थानीय अधिकतम (local maxima) बिंदुओं की संख्या को निरुपित करते हैं।

$$6 m_{2}+4 n_{2}+8 m_{2} n_{2}$$ का मान ________ है।

मान लीजिए कि $$g_{i}:\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1,2$$, और $$f:\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$$ ऐसे फलन हैं कि, सभी $$x \in\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$ के लिए,

$$g_{1}(x)=1, g_{2}(x)=|4 x-\pi| \text { और } f(x)=\sin ^{2} x$$

अब

$$S_{i}=\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3 \pi}{8}} f(x) \cdot g_{i}(x) d x, \quad i=1,2$$

को परिभाषित कीजिए।

$$\frac{16 S_{1}}{\pi}$$ का मान ___________ है।

मान लीजिए कि $$g_{i}:\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1,2$$, और $$f:\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$$ ऐसे फलन हैं कि, सभी $$x \in\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$ के लिए,

$$g_{1}(x)=1, g_{2}(x)=|4 x-\pi| \text { और } f(x)=\sin ^{2} x$$

अब

$$S_{i}=\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3 \pi}{8}} f(x) \cdot g_{i}(x) d x, \quad i=1,2$$

को परिभाषित कीजिए।

$$\frac{48 S_{2}}{\pi^2}$$ का मान ___________ है।

उस $$M$$ पर विचार कीजिए जिसके लिए $$r=\frac{1025}{513}$$ है। मान लीजिए कि $$k$$ उन सभी वृत्तों $$C_{n}$$ की संख्या है जो $$M$$ के अन्दर विद्यमान हैं। मान लीजिए कि $$l$$, इन $$k$$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभावित संख्या (maximum possible number) है, जिनमें से कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। तब

उस $$M$$ पर विचार कीजिए जिसके लिए $$r=\frac{\left(2^{199}-1\right) \sqrt{2}}{2^{198}}$$ है। उन सभी वृत्तों $$D_{n}$$ की संख्या, जो $$M$$ के अन्दर विद्यमान हैं, है

निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?

निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?

एक संख्या को समुच्चय (set) $$\{1,2,3, \ldots, 2000\}$$ से याहच्छया (randomly) चुना जाता है । मान लीजिए कि $$p$$ चुनी गयी संख्या के $$3$$ का गुणज (multiple) अथवा $$7$$ का गुणज होने की प्रायिकता (probability) है। तब $$500 p$$ का मान ________ है।

मान लीजिए कि $$E$$ दीर्घवृत (ellipse) $$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$$ को दर्शाता है। $$E$$ पर किसी भी तीन भित्न बिंदुओं $$P, Q$$ और $$Q'$$ के लिए, मान लीजिए कि $$M(P, Q), P$$ और $$Q$$ को मिलाने वाले रेखाखंड (line segment) का मध्यबिंदु है, तथा $$M\left(P, Q'\right), P$$ और $$Q'$$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है। जब $$P, Q$$ और $$Q', E$$ पर परिवर्तित होते रहते हैं तब $$M(P, Q)$$ और $$M\left(P, Q'\right)$$ के बीच की अधिकतम संभावित दूरी __________ है।

किसी भी वास्तविक संख्या $$x$$ के लिए, मान लीजिए कि $$[x], x$$ से कम या $$x$$ के बराबर महत्तम पूर्णांक (largest integer) को निरुपित करता है | यदि

$$I=\int_\limits{0}^{10}\left[\sqrt{\frac{10 x}{x+1}}\right] d x,$$

तब $$9 I$$ का मान _______ है।