माना फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{\left(1+x^4\right)^{1 / 4}}$$ द्वारा परिभाषित है तथा $$g(x)=f(f(f(f(x))))$$ हे। तो $$18 \int_0^{\sqrt{2 \sqrt{5}}} x^2 g(x) d x$$ बराबर हे

माना $$a$$ तथा $$b$$ दो भिन्न घनात्मक वास्तविक संख्याएं हें। माना एक GP, जिसका पहला पद $$a$$ तथा तीसरा पद $$b$$ है, का 11 वाँ पद, एक अन्य GP, जिसका पहला $$a$$ तथा पांचवाँ पद $$b$$ है, के $$p^{\text {th }}$$ पद के बराबर है। तो $$p$$ बराबर है

माना फलन $$y=f(x)$$, अंतराल $$(-5,5)$$ तीन बार अवकलनीय हे। माना वक्र $$y=f(x)$$ के बिंदुओं $$(1, f(1))$$ तथा $$(3, f(3))$$ पर स्पर्श रेखाएँ घनात्मक $$x$$-अक्ष से $$\pi / 6$$ तथा $$\pi / 4$$ के कोण बनाती हैं। यदि $$27\int\limits_1^3 {\left( {{{(f'(t))}^2} + 1} \right)f''(t)dt = \alpha + \beta \sqrt 3 } $$ है, जहाँ $$\alpha, \beta$$ पूर्णांक हैं, तो $$\alpha+\beta$$ का मान बराबर हे

$$\alpha, \beta \in(0, \pi / 2)$$ के लिए माना $$3 \sin (\alpha+\beta)=2 \sin (\alpha-\beta)$$ हे। माना एक वास्तविक संख्या $$k$$ के लिए $$\tan \alpha=k \tan \beta$$ हे। तो $$k$$ का मान बराबर है

यदि $$z$$ एक सम्मिश्र संख्या है, तो समीकरणों $$z^{1985}+z^{100}+1=0$$ तथा $$z^3+2 z^2+2 z+1=0$$ के उभयनिष्ठ मूलों की संख्या है:

माना एक फलन $$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$$, सभी $$x, y, f(y) \neq 0$$ के लिए $$f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$$ को संतुष्ट करता है। यदि $$f^{\prime}(1)=2024$$ हे, तो

माना $$R=\left(\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right), 3 \times 3$$ का एक शून्येत्तर आव्यूह हे, जहाँ $$x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0, \theta \in(0,2 \pi)$$. एक वर्ग आव्यूह $$M$$ के लिए, माना trace $$(M), M$$ के विकर्ण के सभी अवयवों के योग को दर्शाता है। तो कथनों

(I) Trace $$(R)=0$$

(II) यदि trace $$(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(R))=0$$ हे, तो $$R$$ का केवल एक अवयव शून्येत्तर है

यदि एक बिंदु, जो इस प्रकार चलता है कि इसकी रेखाओं $$x+2 y+7=0$$ तथा $$2 x-y+8=0$$ से दूरी बराबर रहती है, का बिंदुपथ $$x^2-y^2+2 h x y+2 g x+2 f y+c=0$$ है, तो $$g+c+h-f$$ का मान बराबर है

माना वास्तविक अचर $$a$$ तथा $$b$$ इस प्रकार हैं कि फलन $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+3 x+a & , x \leq 1 \\ b x+2 & , x>1\end{array}, \mathbb{R}\right.$$ पर अवकलनीय हे। तो $$\int_\limits{-2}^2 f(x) d x$$ का मान बराबर है

माना $$\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$$ द्वारा परिभाषित है। यदि $$f(0)=-1, f^{\prime}\left(\log _e 2\right)=21$$ तथा $$\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$$ हैं, तो $$|a+b+c|$$ का मान बराबर है

माना तीन रेखाएँ $$L_1: \vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in \mathbb{R},L_2: \vec{r}=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(3 \hat{i}+\hat{j}+p \hat{k}), \mu \in \mathbb{R}$$, तथा $$L_3: \vec{r}=\delta(\ell \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}), \delta \in \mathbb{R}$$ इस प्रकार हैं कि $$L_1$$, रेखा $$L_2$$ के लंबवत है तथा $$L_3$$, दोनों रेखाओं $$L_1$$ तथा $$L_2$$ के लंबवत है। तो निम्न में से कौन सा बिंदु $$L_3$$ पर है?

माना $$\vec{a}=\hat{i}+\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ हे। माना एक सदिश $$\vec{b}$$ इस प्रकार हे कि $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के बीच कोण $$\frac{\pi}{4}$$ है तथा $$|\vec{b}|^2=6$$ है। यदि $$\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \sqrt{2}$$ है, तो $$\left(\alpha^2+\beta^2\right)|\vec{a} \times \vec{b}|^2$$ बराबर हे

माना अतिपरवलय $$H: \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$ पर प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $$P$$ इस प्रकार हे कि $$P$$ तथा $$H$$ की दो नाभियों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $$2 \sqrt{13}$$ हे। तो $$P$$ की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग है

माना $$f(x)=(x+3)^2(x-2)^3, x \in[-4,4]$$ हैं। यदि $$f$$ के $$[-4,4]$$ में अधिकतम तथा न्यूनतम मान क्रमशः $$M$$ तथा $$m$$ हैं, तो $$M-m$$ का मान है

माना $$(1+x)^n$$ के प्रसार में चार क्रमागत पदों के गुणांक $$2-p, p, 2-\alpha, \alpha$$ हैं। तो $$p^2-\alpha^2+6 \alpha+2 p$$ का मान बराबर है

रैखिक समीकरण निकाय $$x+y+z=5, x+2 y+\lambda^2 z=9, x+3 y+\lambda z=\mu$$, जहाँ $$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ हैं, का विचार कीजिए। तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

माना दो सदिश $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ इस प्रकार हैं कि $$|\vec{b}|=1$$ तथा $$|\vec{b} \times \vec{a}|=2$$ हैं। तो $$|(\vec{b} \times \vec{a})-\vec{b}|^2$$ बराबर है

यदि फलन $$f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right)$$ का प्रांत $$(\alpha, \beta]$$ हे, तो $$5 \beta-4 \alpha$$ का मान बराबर है

थेले $$A$$ में 3 सफेद, 7 लाल गेंद तथा थेले $$B$$ में 3 सफेद, 2 लाल गेंद हैं। एक थेला याहच्छया चुना जाता है तथा इसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद सफेद है, तो इस गेंद के थैले $$\mathrm{A}$$ से निकाले जाने की प्रायिकता है

माना रेखा $$5 x+7 y=50$$ पर बिंदु $$A(\alpha, 0)$$ तथा $$B(0, \beta)$$ हें। माना बिंदु $$P$$, रेखा खण्ड $$A B$$ को अंतः $$7: 3$$ के अनुपात में बांटता है। माना दीर्घवृत्त $$E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ की एक नियता $$3 x-25= 0$$ है तथा संगत नाभि $$S$$ है। यदि बिंदु $$S$$ से $$x$$-अक्ष पर लंब, बिंदु $$P$$ से होकर जाता है, तो $$E$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई है

एक परीक्षा में गणित के प्रश्नपत्र में बराबर अंकों के 20 प्रश्न हैं तथा प्रश्नपत्र में तीन खंड : $$A, B$$ और $$C$$ है। एक विद्यार्थी को कुल 15 प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जिनमें प्रत्येक खंड से कम से कम 4 प्रश्न होने चाहिए। यदि खंड $$A$$ में 8 प्रश्न, खंड $$B$$ में 6 प्रश्न तथा खंड $$C$$ में 6 प्रश्न हैं, तो एक विद्यार्थी द्वारा 15 प्रश्न चुनने के तरीकों की कुल संख्या है __________.

माना प्रथम चतुर्थांश में एक वक्र $$Y=Y(X)$$ इस प्रकार हे कि रेखा $$Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$$ तथा निर्देशांक अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1, Y^{\prime}(x) \neq 0$$ है, जहाँ $$(x, y)$$ वक्र पर कोई बिंदु हे। यदि $$Y(1)=1$$ हे, तो $$12 Y(2)$$ बराबर है ________.

समीकरण $$x\left(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|\right)=0$$ के वास्तविक हलों की संख्या है ________.

दो वृत्तों $$C_1: x^2+y^2=25$$ तथा $$C_2:(x-\alpha)^2+y^2=16$$, जहाँ $$\alpha \in(5,9)$$ हे, का विचार कीजिए। माना वृत्तों $$C_1$$ तथा $$C_2$$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक से खींची गई दो त्रिज्याओं (प्रत्येक वृत्त पर एक) के बीच कोण $$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$$ है। यदि $$C_1$$ तथा $$C_2$$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $$\beta$$ है, तो $$(\alpha \beta)^2$$ का मान बराबर है _________.

माना बिंदु $$(-1,2,3)$$ से होकर जाने वाली एक रेखा, रेखा $$L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-2}$$ को $$M(\alpha, \beta, \gamma)$$ तथा रेखा $$L_2: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{4}$$ को $$N(a, b, c)$$ पर काटती है। तो $$\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2}{(a+b+c)^2}$$ बराबर हे ________.

आंकड़ों

$$x_i$$	0	1	5	6	10	12	17
$$f_i$$	3	2	3	2	6	3	3

का प्रसरण $$\sigma^2$$ बराबर है _________.

परवलय $$(y-2)^2=x-1$$, रेखा $$x-2 y+4=0$$ तथा घनात्मक निर्देशांक अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है ______.

समुच्चय $$\{1,2,3,4\}$$ पर परिभाषित ऐसे संबंधों, जो सममित हैं पर स्वतुल्य नहीं हें, की संख्या है _______.

माना $$\alpha=\sum_\limits{k=0}^n\left(\frac{\left({ }^n C_k\right)^2}{k+1}\right)$$ तथा $$\beta=\sum_\limits{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^n C_k{ }^n C_{k+1}}{k+2}\right)$$ हैं। यदि $$5 \alpha=6 \beta$$ हें, तो $$n$$ बराबर है _______.

माना समांतर श्रेढी $$3,7,11,....$$ के प्रथम $$n$$ पदों का योग $$S_n$$ है। यदि $$40<\left(\frac{6}{n(n+1)} \sum_\limits{k=1}^n S_k\right)<42$$ है, तो $$n$$ बराबर है ________.