माना R₁ = {(a, b) $$\in$$ N $$\times$$ N : |a $$-$$ b| $$\le$$ 13} तथा

R₂ = {(a, b) $$\in$$ N $$\times$$ N : |a $$-$$ b| $$\ne$$ 13} हैं। तो N पर:

माना $$f(x)$$ एक द्विघातीय बहुपद है जिसके लिए $$f(-2)+f(3)=0$$ है। यदि $$f(x)=0$$ का एक मूल $$-1$$ है, तो $$f(x)=0$$ के मूलों का योगफल बराबर है :

चार बच्चों $$\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3}, \mathrm{C}_{4}$$ में एक तरह की 30 कैंडी इस प्रकार बाटने के तरीकों की संख्या, जिनमें $$\mathrm{C}_{2}$$ को कम से कम 4 तथा अधिक से अधिक 7 कैंडी, $$\mathrm{C}_{3}$$ को कम से कम 2 तथा अधिक से अधिक 6 कैंडी मिलें, है :

$$(1 - {x^2} + 3{x^3}){\left( {{5 \over 2}{x^3} - {1 \over {5{x^2}}}} \right)^{11}},\,x \ne 0$$ के प्रसार में से स्वतंत्र पद है : :

यदि $$\mathrm{a}$$ तथा 100 के बीच $$\mathrm{n}$$ समांतर माध्य इस प्रकार डाले गए हैं कि पहले माध्य का अंतिम माध्य से अनुपात $$1: 7$$ है तथा $$\mathrm{a}+\mathrm{n}=33$$ है, तो $$\mathrm{n}$$ का मान है :

माना फलन f, g : R $$\to$$ R

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {[x]} & , & {x < 0} \cr {|1 - x|} & , & {x \ge 0} \cr } } \right.$$ तथा $$g(x) = \left\{ {\matrix{ {{e^x} - x} & , & {x < 0} \cr {{{(x - 1)}^2} - 1} & , & {x \ge 0} \cr } } \right.$$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है। तो फलन $$fog$$ कितने बिंदुओं पर असंतत है?

माना f : R $$\to$$ R एक अवकलनीय फलन है जिसके लिए $$f\left( {{\pi \over 4}} \right) = \sqrt 2 ,\,f\left( {{\pi \over 2}} \right) = 0$$ तथा $$f'\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1$$ हैं।

माना $$g(x) = \int_x^{\pi /4} {(f'(t)\sec t + \tan t\sec t\,f(t))\,dt} $$ for $$x \in \left[ {{\pi \over 4},{\pi \over 2}} \right)$$ हैं। तो $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ - }} g(x)$$ बराबर है :

माना $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ एक संतत फलन है जो सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए $$f(x)+f(x+\mathrm{k})=\mathrm{n}$$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $$\mathrm{k}>0$$ है तथा $$\mathrm{n}$$ एक धनात्मक पूर्णांक है । यदि $${I_1} = \int\limits_0^{4nk} {f(x)dx} $$ तथा $$\mathrm{I}_{2}=\int_{-\mathrm{k}}^{3 \mathrm{k}} f(x) \mathrm{d} x$$ हैं, तो :

वक्र $$y=3-\left|x-\frac{1}{2}\right|-|x+1|$$ तथा $$x$$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना अवकल समीकरण $$2y \,\mathrm{e}^{x / y^{2}} \mathrm{~d} x+\left(y^{2}-4 x \mathrm{e}^{x / y^{2}}\right) \mathrm{d} y=0$$ का हल $$x=x(y)$$ इस प्रकार है कि $$x(1)=0$$ है तो $$x(\mathrm{e})$$ बराबर है :

माना एक वक्र $$y=f(x)$$ के बिंदु $$(x, y)$$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $$2 \tan x(\cos x-y)$$ है। यदि यह वक्र बिंदु $$(\pi / 4,0)$$ से होकर जाता है, तो $$\int\limits_0^{\pi /2} {y\,dx} $$ का मान बराबर है:

माना एक त्रिभुज रेखाओं $$\mathrm{L}_{1}: 2 x+5 y=10 ; \mathrm{L}_{2}:-4 x+3 y=12$$ तथा $$\mathrm{L}_{3}$$ से घिरा है। रेखा $$\mathrm{L}_{3}$$ बिंदु $$\mathrm{P}(2,3)$$ से होकर जाती है, $$L_{2}$$ को बिंदु $$A$$ पर काटती है तथा $$L_{1}$$ को बिंदु $$B$$ पर काटती है। यदि बिंदु $$P$$, रेखा-खंड $$A B$$ को अंत: $$1: 3$$ के अनुपात में विभाजित करता है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है :

माना $$\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$$ हैं। माना अतिपरवलय $$\frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$$ की उत्केन्द्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमश: $$\mathrm{e}$$ तथा $$l$$ हैं। माना इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः $$\mathrm{e}^{\prime}$$ तथा $$l^{\prime}$$ हैं। यदि $$\mathrm{e}^{2}=\frac{11}{14} l$$ तथा $$\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)^{2}=\frac{11}{8} l^{\prime}$$ हैं, तो $$77 \mathrm{a}+44 \mathrm{~b}$$ का मान बराबर है :

माना   $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$$   तथा   $$\vec{b}=-2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$$ हैं, जहाँ $$\alpha \in \mathbf{R}$$ है। यदि समांतर चतुर्भुज, जिसकी संलग्न भुजाएँ   $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$   तथा   $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$   हैं, का क्षेत्रफल $$\sqrt{15\left(\alpha^{2}+4\right)}$$ है, तो $$2|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}+(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}})|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}$$ का मान बराबर है :

यदि एक परवलय का शीर्ष $$(2,-1)$$ है तथा इसकी नियता का समीकरण $$4 x-3 y=21$$ है, तो इसकी नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

समुच्चय $$\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}$$ से समुच्चय $$\{1,2,3,4,5\}$$ में यादृच्छया चुने गए एक एकैकी फलन के $$f(\mathrm{a})+2 f(\mathrm{~b})-f(\mathrm{c})=f(\mathrm{~d})$$ को संतुष्ट करने की प्रायिकता है :

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 6\tan \left\{ {\sum\limits_{r = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {{1 \over {{r^2} + 3r + 3}}} \right)} } \right\}$$ का मान बराबर है :

माना सदिश $$3 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+2 \hat{k}$$ के लंबवत एक सदिश $$\vec{a}$$ है। यदि $$\vec{a} \times(2 \hat{i}+\hat{k})=2 \hat{i}-13 \hat{j}-4 \hat{k}$$ है, तो सदिश $$\overrightarrow{a}$$ का सदिश $$2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$$ पर प्रक्षेप है :

यदि $$\cot \alpha=1$$ तथा $$\sec \beta=-\frac{5}{3}$$ हैं, जहाँ $$\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$$ तथा $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$ हैं, तो $$\tan (\alpha+\beta)$$ का मान तथा वह चतुर्थांश जिसमें $$\alpha+\beta$$ स्थित हैं, क्रमश: हैं :

माना रेखा $$\mathrm{L}: \frac{x-6}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$$ में बिंदु $$\mathrm{P}(1,2,3)$$ का प्रतिबिंब $$\mathrm{Q}$$ है। माना बिंदु $$\mathrm{R}(\alpha, \beta$$, $$\gamma)$$, रेखा खंड $$\mathrm{PQ}$$ को अंत: $$1: 3$$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो $$22(\alpha+\beta+\gamma)$$ का मान बराबर है

माना एक कक्षा में 7 छात्र हैं। गणित की परीक्षा में इन छात्रों के अंकों का माध्य 62 तथा प्रसरण 20 हैं। कोई छात्र परीक्षा में फेल होता है यदि वह 50 अंकों से कम प्राप्त करता है, तो फेल होने वाले छात्रों की अधिकतम संख्या है _________.

यदि वृत्त $$x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{2} x-6 \sqrt{2} y+14=0$$ का एक व्यास, वृत्त $$(x-2 \sqrt{2})^{2}+(y-2 \sqrt{2})^{2}=\mathrm{r}^{2}$$ की एक जीवा है, तो $$\mathrm{r}^{2}$$ का मान बराबर है ____________.

यदि $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sin (3{x^2} - 4x + 1) - {x^2} + 1} \over {2{x^3} - 7{x^2} + ax + b}} = - 2$$ है, तो $$(a-b)$$ का मान बराबर है ___________.

माना $$\mathrm{n}=1,2, \ldots .50$$ के लिए अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी जिसका पहला पद $$\mathrm{n}^{2}$$ तथा सार्व अनुपात $$\frac{1}{(\mathrm{n}+1)^{2}}$$ है का योग $$S_{n}$$ है। तो $${1 \over {26}} + \sum\limits_{n = 1}^{50} {\left( {{S_n} + {2 \over {n + 1}} - n - 1} \right)} $$ का मान बराबर है ___________.

यदि रैखिक समीकरण निकाय

$$2x - 3y = \gamma + 5$$,

$$\alpha x + 5y = \beta + 1$$

जहाँ $$\alpha, \beta, \gamma \in \mathbf{R}$$ हैं, के अनंत हल हैं, तो $$|9 \alpha+3 \beta+5 \gamma|$$ का मान बराबर है ____________.

माना $$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1+i & 1 \\ -i & 0\end{array}\right)$$ है, जहाँ $$i=\sqrt{-1}$$ है। तो समुच्चय $$\left\{\mathrm{n} \in\{1,2, \ldots .100\}: \mathrm{A}^{\mathrm{n}}=\mathrm{A}\right\}$$ में अवयवों की संख्या है ____________.

$$\bar{z}=i z^{2}+z^{2}-z$$ को संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $$z$$ के मापांकों के वर्गों का योगफल बराबर है ___________.

माना $$S=\{1,2,3,4\}$$ है। तो समुच्वय

$$\{f: \mathrm{S} \times \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}: f$$ आच्छादक है तथा $$f(\mathrm{a}, \mathrm{b})=f(\mathrm{~b}, \mathrm{a}) \geqslant \mathrm{a}, \forall(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{S} \times \mathrm{S}\}$$

में अवयवों की संख्या है______________.