JEE MAIN - Mathematics Hindi (2022 - 28th June Evening Shift - No. 13)
माना $$\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$$ हैं। माना अतिपरवलय $$\frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$$ की उत्केन्द्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमश: $$\mathrm{e}$$ तथा $$l$$ हैं। माना इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः $$\mathrm{e}^{\prime}$$ तथा $$l^{\prime}$$ हैं। यदि $$\mathrm{e}^{2}=\frac{11}{14} l$$ तथा $$\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)^{2}=\frac{11}{8} l^{\prime}$$ हैं, तो $$77 \mathrm{a}+44 \mathrm{~b}$$ का मान बराबर है :
100
110
120
130
Explanation
$$H:{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$$, तो
$${e^2} = {{11} \over {14}}l$$ (l LR . की लंबाई हो)
$$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {{11} \over 7}{b^2}a$$ ..... (i)
तथा $$e{'^2} = {{11} \over 8}l'$$ (l' संयुग्म अतिपरवलय की LR की लंबाई हो)
$$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {{11} \over 4}{a^2}b$$ ....... (ii)
(i) और (ii) द्वारा
$$7a = 4b$$
तब (i) द्वारा
$${{16} \over {49}}{b^2} + {b^2} = {{11} \over 7}{b^2}\,.\,{{4b} \over 7}$$
$$ \Rightarrow 44b = 65$$ तथा $$77a = 65$$
$$\therefore$$ $$77a + 44b = 130$$
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