JEE MAIN - Mathematics Hindi (2022 - 28th June Evening Shift - No. 10)
माना अवकल समीकरण $$2y \,\mathrm{e}^{x / y^{2}} \mathrm{~d} x+\left(y^{2}-4 x \mathrm{e}^{x / y^{2}}\right) \mathrm{d} y=0$$ का हल $$x=x(y)$$ इस प्रकार है कि $$x(1)=0$$ है तो $$x(\mathrm{e})$$ बराबर है :
$$e{\log _e}(2)$$
$$ - e{\log _e}(2)$$
$${e^2}{\log _e}(2)$$
$$ - {e^2}{\log _e}(2)$$
Explanation
दिया गया अवकल समीकरण
$$2y{e^{{x \over {{y^2}}}}}dx + \left( {{y^2} - 4x{e^{{x \over {{y^2}}}}}} \right)dy = 0,\,x(1) = 0$$
$$ \Rightarrow {e^{{x \over {{y^2}}}}}[2ydx - 4xdy] = - {y^2}dy$$
$$ \Rightarrow {e^{{x \over {{y^2}}}}}\left[ {{{2{y^2}dx - 4xydy} \over {{y^4}}}} \right] = {{ - 1} \over y}dy$$
$$ \Rightarrow 2{e^{{x \over {{y^2}}}}}d\left( {{x \over {{y^2}}}} \right) = - {1 \over y}dy$$
$$ \Rightarrow 2{e^{{x \over {{y^2}}}}} = - \ln y + c$$ ...... (i)
अब, x(1) = 0, c = 2 . का प्रयोग करते हुए
अत: x(e) के लिए (i) में y = e रखें।
$$2{e^{{x \over {{e^2}}}}} = - 1 + 2$$
$$ \Rightarrow {x \over {{e^2}}} = \ln \left( {{1 \over 2}} \right) \Rightarrow x(e) = - {e^2}\ln 2$$
Comments (0)
