मान लीजिए कि $x_0$ वह वास्तविक संख्या (real number) है कि $e^{x_0}+x_0=0$ है। किसी दी गयी एक वास्तविक संख्या $\alpha$, तथा सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए

$$g(x)=\frac{3 x e^x+3 x-\alpha e^x-\alpha x}{3\left(e^x+1\right)}$$

परिभाषित कीजिये।

तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा एक कथन सत्य है ?

मान लीजिए कि $\mathbb{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं (real numbers) के समुच्चय (set) को दर्शाता है। तब क्षेत्र (region)

$$\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x>0, y>\frac{1}{x}, 5 x-4 y-1>0,4 x+4 y-17<0\right\}$$

का क्षेत्रफल (area) है

समीकरण (equation)

$$\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$$

के कुल वास्तविक हलों की संख्या (total number of real solutions) है

(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (inverse trigonometric functions) $\sin ^{-1} x$ तथा $\tan ^{-1} x$ के मान क्रमशः (respectively), $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में हैं।)

मान लीजिए कि $S$, रेखा-युग्म (pair of lines)

$$\begin{gathered} 4 x-3 y=12 \alpha, \\ 4 \alpha x+3 \alpha y=12, \end{gathered}$$

के प्रतिच्छेदन बिंदु (point of intersection) के बिंदुपथ (locus) को दर्शाता है, जहाँ $\alpha$ शून्येतर वास्तविक संख्याओं (non-zero real numbers) के समुच्चय (set) पर विचरित करता (varies on) है। मान लीजिए कि $T$, वक्र (curve) $S$ पर वह स्पर्श-रेखा (tangent) है जो बिन्दुओं ( $p, 0$ ) तथा ( $0, q$ ) , $q>0$, से गुजरती है , और रेखा $4 x-\frac{3}{\sqrt{2}} y=0$ के समांतर (parallel) है।

तब $p q$ का मान है

मान लीजिए कि $I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, और $P=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ हैं। मान लीजिए कि किन्हीं शून्येतर (non-zero) वास्तविक संख्याओं (real numbers) $x, y$, और $z$ के लिए, $Q=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & 4\end{array}\right)$ है, जिसके लिए एक $2 \times 2$ आव्यूह (matrix) $R$ है, जिसकी सभी प्रविष्टियाँ (entries) शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तथा $Q R=R P$ है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $S$, परवलय (parabola) $y^2=x$ की उन सभी जीवाओं (chords) के मध्य-बिंदुओं (mid-points) का बिन्दुपथ (locus) है , जिनके लिए परवलय एवं जीवा द्वारा घिरे क्षेत्र (region enclosed) का क्षेत्रफल (area) $\frac{4}{3}$ है। मान लीजिए कि $\mathcal{R}$ प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में उस क्षेत्र को दर्शाता है, जो परवलय $y^2=x$, वक्र (curve) $S$, और रेखाओं $x=1$ तथा $x=4$ द्वारा घिरा हुआ है।

तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $P\left(x_1, y_1\right)$ और $Q\left(x_2, y_2\right)$, दीर्घवृत्त (ellipse)

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 $$

पर दो ऐसे भिन्न बिंदु हैं, कि $y_1>0$ और $y_2>0$ हैं। मान लीजिए कि $C$, वृत्त (circle) $x^2+y^2=9$ को दर्शाता है, और $M$, बिंदु $(3,0)$ है। मान लीजिए कि रेखा (line) $x=x_1$, वृत्त $C$ को $R$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है, और रेखा $x=x_2$, वृत्त $C$ को $S$ पर प्रतिच्छेदित करती है, जहाँ $R$ तथा $S$ के $y$-निर्देशांक ( $y$-coordinates) धनात्मक (positive) हैं।

मान लीजिए कि $\angle R O M=\frac{\pi}{6}$ और $\angle S O M=\frac{\pi}{3}$ हैं, जहाँ $O$ मूलबिंदु (origin) $(0,0)$ को दर्शाता है। मान लीजिए कि $|X Y|$, रेखाखंड (line segment) $X Y$ की लंबाई को दर्शाता है।

तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $\mathbb{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं (real numbers) के समुच्चय (set) को दर्शाता है। मान लीजिए फलन (function) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

$$f(x)= \begin{cases}\frac{6 x+\sin x}{2 x+\sin x} & \text { यदि } x \neq 0, \\ \frac{7}{3} & \text { यदि } x=0,\end{cases}$$

द्वारा परिभाषित है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $y(x)$, अवकल समीकरण (differential equation)

$$x^2 \frac{d y}{d x}+x y=x^2+y^2, \quad x>\frac{1}{e}$$

का वह हल (solution) है जो $y(1)=0$ को संतुष्ट करता है। तब $2 \frac{(y(e))^2}{y\left(e^2\right)}$ का मान __________ है।

मान लीजिए कि $a_0, a_1, \ldots, a_{23}$ इस प्रकार की वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं कि सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए ,

$$\left(1+\frac{2}{5} x\right)^{23}=\sum_\limits{i=0}^{23} a_i x^i$$

है। मान लीजिए कि संख्याओं $a_j, 0 \leq j \leq 23$, में सबसे बड़ी संख्या $a_r$ है। तब $r$ का मान __________ है।

एक कारखाने (factory) में कुल तीन निर्माण इकाइयाँ (manufacturing units) $M_1, M_2$, और $M_3$ हैं, जो एक दूसरे से स्वतन्त्र रूप से (independent of each other) बल्बों का उत्पादन करती हैं। इकाइयाँ $M_1, M_2$, और $M_3$, क्रमशः (respectively) $2: 2: 1$ के अनुपात (proportions) में बल्ब बनाती हैं। यह ज्ञात है कि कारखाने में बनने वाले सभी बल्बों में $20 \%$ बल्ब खराब निकलते हैं। यह भी ज्ञात है कि $M_1$ द्वारा बनाये गए सभी बल्बों में $15 \%$ बल्ब खराब निकलते हैं। मान लीजिए कि, यदि कारखाने में बनाये गए बल्बों में से एक यादृच्छया (randomly) चुना गया बल्ब खराब पाया जाता है, तब इसके $M_2$ द्वारा बनाये जाने की प्रायिकता (probability) $\frac{2}{5}$ है। यदि $M_3$ द्वारा बनाये गये बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया चुना जाता है, तब इसके खराब निकलने की प्रायिकता _________ है।

सदिशों (vectors)

$$\vec{x}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}, \quad \vec{y}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k}, \quad \text { और } \quad \vec{z}=3 \hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k}$$

पर विचार कीजिये। दो भिन्न (distinct) धनात्मक वास्तविक संख्याओं (positive real numbers) $\alpha$ और $\beta$ के लिए,

$$\vec{X}=\alpha \vec{x}+\beta \vec{y}-\vec{z}, \quad \vec{Y}=\alpha \vec{y}+\beta \vec{z}-\vec{x}, \quad \text { और } \quad \vec{z}=\alpha \vec{z}+\beta \vec{x}-\vec{y}$$

परिभाषित कीजिए। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$, और $\vec{Z}$ एक समतल (plane) पर स्थित हैं, तब $\alpha+\beta-3$ का मान __________ है।

किसी शून्येतर (non-zero) सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg (z), z$ के मुख्य कोणांक (principal argument) को दर्शाता है, जहाँ $-\pi<\arg (z) \leq \pi$ है। मान लीजिए कि $\omega$, एकक (unity) का वह घनमूल (cube root) है, जिसके लिए $0<\arg (\omega)<\pi$ है। मान लीजिए कि

$$\alpha=\arg \left(\sum_{n=1}^{2025}(-\omega)^n\right)$$

है। तब $\frac{3 \alpha}{\pi}$ का मान _________ है।

मान लीजिए कि $\mathbb{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं (real numbers) के समुच्चय (set) को दर्शाता है। मान लीजिए कि फलन (functions) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow(0,4)$,

$$f(x)=\log _e\left(x^2+2 x+4\right), \quad \text { और } \quad g(x)=\frac{4}{1+e^{-2 x}}$$

द्वारा परिभाषित हैं। संयुक्त फलन (composite function) $f \circ g^{-1}$ को $\left(f \circ g^{-1}\right)(x)=f\left(g^{-1}(x)\right)$ द्वारा परिभाषित कीजिए, जहाँ $g^{-1}$, फलन $g$ का प्रतिलोम (inverse) है।

तब $x=2$ पर संयुक्त फलन $f \circ g^{-1}$ के अवकलज (derivative) का मान _________ है।

मान लीजिए कि

$$ \alpha=\frac{1}{\sin 60^{\circ} \sin 61^{\circ}}+\frac{1}{\sin 62^{\circ} \sin 63^{\circ}}+\cdots+\frac{1}{\sin 118^{\circ} \sin 119^{\circ}} $$

है। तब

$$ \left(\frac{\operatorname{cosec} 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 $$

का मान ___________ है।

यदि

$$\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x$$

है, तब $\sqrt{7} \tan \left(\frac{2 \alpha \sqrt{7}}{\pi}\right)$ का मान _________ है।

(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\tan ^{-1} x$ के मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में हैं।)