$ \left(\frac{\csc 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 $ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले $ \alpha $ की अभिव्यक्ति पर विचार करते हैं:

$ \alpha = \frac{1}{\sin 60^{\circ} \cdot \sin 61^{\circ}} + \frac{1}{\sin 62^{\circ} \cdot \sin 63^{\circ}} + \cdots + \frac{1}{\sin 118^{\circ} \cdot \sin 119^{\circ}} $

ज्यामिति की एक सर्वमान्य पहचान का प्रयोग करते हुए:

$ \sin(x-y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y $

हम प्रत्येक पद को इस प्रकार रूपांतरित कर सकते हैं:

$ \sin 1^{\circ} \cdot \alpha = \frac{\sin(61^{\circ} - 60^{\circ})}{\sin 60^{\circ} \cdot \sin 61^{\circ}} + \frac{\sin(63^{\circ} - 62^{\circ})}{\sin 62^{\circ} \cdot \sin 63^{\circ}} + \dots + \frac{\sin(119^{\circ} - 118^{\circ})}{\sin 118^{\circ} \cdot \sin 119^{\circ}} $

यह सरलीकृत होकर बनता है:

$ \sin 1^{\circ} \cdot \alpha = \cot 60^{\circ} - \cot 61^{\circ} + \cot 62^{\circ} - \cot 63^{\circ} + \cdots + \cot 118^{\circ} - \cot 119^{\circ} $

यह श्रेणी टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाती है, जिससे यह सरल हो जाती है:

$ \sin 1^{\circ} \cdot \alpha = \cot 60^{\circ} $

अतः:

$ \alpha = \frac{\cot 60^{\circ}}{\sin 1^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sin 1^{\circ}} = \frac{\csc 1^{\circ}}{\sqrt{3}} $

अंततः, हम प्राप्त करते हैं:

$ \left(\frac{\csc 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 = \left(\frac{\csc 1^{\circ}}{\frac{\csc 1^{\circ}}{\sqrt{3}}}\right)^2 = 3 $