JEE Advance - Mathematics Hindi (2025 - Paper 2 Online - No. 8)
मान लीजिए कि $\mathbb{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं (real numbers) के समुच्चय (set) को दर्शाता है। मान लीजिए फलन (function) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,
$$f(x)= \begin{cases}\frac{6 x+\sin x}{2 x+\sin x} & \text { यदि } x \neq 0, \\ \frac{7}{3} & \text { यदि } x=0,\end{cases}$$
द्वारा परिभाषित है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
Explanation
$$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=3 \\ & \text { चूंकि } 3>\frac{7}{3} \Rightarrow 3>f(0) \end{aligned} $$
$\Rightarrow \mathrm{x}=0$ स्थानीय न्यूनतम (local minima) है …. विकल्प (B) सही है।
अब,
$$ \begin{aligned} & f(x)=\frac{6 x+\sin x}{2 x+\sin x}=1+\frac{4 x}{2 x+\sin x} \\ & f^{\prime}(x)=\frac{4[(2 x+\sin x) \cdot 1-x(2+\cos x)]}{(2 x+\sin x)^2}=\frac{4(\sin x-x \cos x)}{(2 x+\sin x)^2} \\ & =\frac{4 \cos x(\tan x-x)}{(2 x+\sin x)^2} \end{aligned} $$
$$ \text { विकल्प (C) एवं (D) भी सही हैं। } $$
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