दिए गए समीकरण के लिए वास्तविक हलों की कुल संख्या ज्ञात करने हेतु, आइए समस्या को चरण दर चरण विभाजित करें:

परिभाषित करें $\alpha$ को:

$ \alpha = \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{6 \tan \theta}{9 + \tan^2 \theta} \right) $

हमें निम्नांकित हल करना है:

$ \theta = \tan^{-1}(2 \tan \theta) - \alpha $

इसे पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं:

$ \theta + \alpha = \tan^{-1}(2 \tan \theta) $

दोनों पक्षों का टैन्जेंट लेने पर, हमें मिलता है:

$ \tan(\theta + \alpha) = 2 \tan \theta $

टैन्जेंट के योग सूत्र के अनुसार:

$ \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \theta} = 2 \tan \theta \quad \ldots (1) $

अब विचार करें:

$ \sin 2\alpha = \frac{6 \tan \theta}{9 + \tan^2 \theta} = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} $

यह समीकरण प्राप्त करें:

$ 3 \tan \theta + 3 \tan \theta \tan^2 \alpha = 9 \tan \alpha + \tan \alpha \tan^2\theta $

सरलीकरण करने पर:

$ 3(\tan \theta - 3 \tan \alpha) = \tan \alpha \tan \theta (\tan \theta - 3 \tan \alpha) $

इससे निष्कर्ष निकलता है:

$ \tan \theta = \frac{3}{\tan \alpha} \quad \text{या} \quad \tan \theta = 3 \tan \alpha $

प्रकरण I: $\tan \theta = 3 \tan \alpha$

समीकरण (1) से:

$ \frac{\tan \theta + \frac{\tan \theta}{3}}{1 - \frac{\tan^2 \theta}{3}} = 2 \tan \theta $

इससे प्राप्त होता है:

$ \tan \theta = 0, \quad \frac{2}{3} = 1 - \frac{\tan^2 \theta}{3} \Rightarrow \tan \theta = 1, -1 $

इस प्रकार, हमारे पास है:

$ \tan \theta = 0, -1, 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, 0 $

प्रकरण II: $\tan \theta = \frac{3}{\tan \alpha}$

समीकरण (1) से:

$ \frac{\tan \theta + \frac{3}{\tan \theta}}{-2} = 2 \tan \theta $

इसे सरल करने पर मिलता है:

$ \tan \theta + \frac{3}{\tan \theta} = -4 \tan \theta $

यह कोई वास्तविक हल नहीं देता ("कोई हल नहीं").

अतः $\theta$ के वास्तविक हल हैं $\frac{\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{4}$, और $0$, जिससे कुल 3 वास्तविक हल प्राप्त होते हैं।