सदिशों (vectors)

$$\vec{x}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}, \quad \vec{y}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k}, \quad \text { और } \quad \vec{z}=3 \hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k}$$

पर विचार कीजिये। दो भिन्न (distinct) धनात्मक वास्तविक संख्याओं (positive real numbers) $\alpha$ और $\beta$ के लिए,

$$\vec{X}=\alpha \vec{x}+\beta \vec{y}-\vec{z}, \quad \vec{Y}=\alpha \vec{y}+\beta \vec{z}-\vec{x}, \quad \text { और } \quad \vec{z}=\alpha \vec{z}+\beta \vec{x}-\vec{y}$$

परिभाषित कीजिए। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$, और $\vec{Z}$ एक समतल (plane) पर स्थित हैं, तब $\alpha+\beta-3$ का मान __________ है।