आइए दिए गए मैट्रिक्स पर विचार करें:

$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $

$ P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $

$ Q = \begin{pmatrix} x & y \\ z & 4 \end{pmatrix} $

$ R = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $

जहाँ $ x, y, z, a, b, c, d $ शून्य से भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं। हम मैट्रिक्स $ Q $ की गुणधर्मों की जाँच करना चाहते हैं, जिससे समीकरण $ Q R = R P $ दिया गया है।

चरण एवं गणनाएँ

मैट्रिक्स समीकरण का विश्लेषण:

दिया गया है $ Q R = R P $, अतः दोनों पक्षों को तुल्य बनाते हैं:

$ \begin{pmatrix} a x + c y & b x + d y \\ a z + 4c & b z + 4d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 3b \\ 2c & 3d \end{pmatrix} $

मैट्रिक्स समानता से निम्नलिखित प्रमुख समीकरण प्राप्त होती हैं:

$ a x + c y = 2a $

$ b x + d y = 3b $

$ a z + 4c = 2c $

$ b z + 4d = 3d $

नियतांक (Determinat) शर्त:

समीकरणों की तुलना करते हैं:

मान लें $ a z = -2c $ और $ b z = -d $, इससे प्राप्त होता है $ \frac{a}{b} = \frac{2c}{d} $।

शर्त $ |R| \neq 0 $ से प्राप्त होता है $ |P| = |Q| $। अतः नियतांक को बराबर करने से संयुक्त समीकरण प्राप्त होता है:

$ |P| = |Q| \Rightarrow 6 = 4x - yz \quad \text{(समीकरण 1)} $

गैर-त्रुटिहीन (Non-Trivial) हल के लिए शर्त:

निम्न से:

$ a(x - z) + c y = 0 $

$ a z + 2c = 0 $

गैर-त्रुटिहीन हल के लिए आवश्यक है:

$ \left|\begin{array}{cc} x-2 & y \\ z & 2 \end{array}\right| = 0 \Rightarrow 2x - yz = 4 \quad \text{(समीकरण 2)} $

$ x $, $ yz $ के लिए हल:

समीकरण 1 एवं 2 हल करें:

$ 4x - yz = 6 $

$ 2x - yz = 4 $

द्वितीय को प्रथम से घटाएँ:

$ (4x - yz) - (2x - yz) = 6 - 4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 $

$ x = 1 $ रखने पर:

$ 4(1) - yz = 6 \Rightarrow 4 - yz = 6 \Rightarrow yz = -2 $

नियतांक की पुष्टि:

$ Q - 2I $ के लिए:

$ |Q - 2I| = \left|\begin{array}{cc} x-2 & y \\ z & 2 \end{array}\right| = 2x - yz = 0 $

$ Q - 6I $ के लिए:

$ |Q - 6I| = \left|\begin{array}{cc} x-6 & y \\ z & -2 \end{array}\right| = -2x + 12 - yz = 12 $

$ Q - 3I $ के लिए:

$ |Q - 3I| = \left|\begin{array}{cc} x-3 & y \\ z & 1 \end{array}\right| = x - 3 - yz = 0 $

अतः प्राप्त मानों के अनुसार, नियतांक सम्बन्धित विवरण सही है। निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

$ |Q - 2I| = 0 $

$ |Q - 6I| = 12 $

$ yz = -2 $

ये गणनाएँ पूर्व-निर्धारित मैट्रिक्स के गुणधर्मों के अनुरूप मैट्रिक्स $ Q $ की शर्तों को मान्यता देती हैं।