अऋ्णणात्मक पूर्णांकों (non-negative integers) $$n$$ के लिए माना कि

$$f(n)=\frac{\sum_\limits{k=0}^{n} \sin \left(\frac{k+1}{n+2} \pi\right) \sin \left(\frac{k+2}{n+2} \pi\right)}{\sum_\limits{k=0}^{n} \sin ^{2}\left(\frac{k+1}{n+2} \pi\right)}$$

माना कि $$\cos ^{-1} x$$ का मान $$[0, \pi]$$ में है, तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं )?

माना कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x-1)(x-2)(x-5)$$ द्वारा दिया गया है। परिभाषित करें

$$F(x)=\int_\limits{0}^{x} f(t) d t, \quad x > 0 .$$

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं )?

माना कि

$$ f(x)=\frac{\sin \pi x}{x^{2}}, \quad x>0 $$

माना कि $$f$$ के सभी स्थानीय उच्चतम (local maximum) बिंदु $$x_{1} < x_{2} < x_{3} < \cdots < x_{n} < \cdots$$ हैं और $$f$$ के सभी स्थानीय न्यूनतम (local minimum) बिंदु $$y_{1} < y_{2} < y_{3} < \cdots < y_{n} < \cdots$$ हैं। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं )?

तीन रेखाएं

$$\begin{array}{ll} L_{1}: & \vec{r}=\lambda \hat{i}, \lambda \in \mathbb{R}, \\ L_{2}: & \vec{r}=\hat{k}+\mu \hat{j}, \mu \in \mathbb{R} \text { और } \\ L_{3}: & \vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+v \hat{k}, v \in \mathbb{R} \end{array}$$

दी गयीं हैं $$L_{2}$$ के किस बिंदु (किन बिंदुओं) $$Q$$ के लिए हम $$L_{1}$$ पर एक बिंदु $$P$$ और $$L_{3}$$ पर एक बिंदु $$R$$ प्राप्त कर सकते हैं ताकि $$P, Q$$ और $$R$$ सरेख (collinear) हों जाएँ ?

माना कि $$a \in \mathbb{R}_{1}|a| > 1$$ के लिए

$$\lim_\limits{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt[3]{2}+\cdots+\sqrt[3]{n}}{n^{7 / 3}\left(\frac{1}{(a n+1)^{2}}+\frac{1}{(a n+2)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(a n+n)^{2}}\right)}\right)=54$$

तब $$a$$ का (के) सम्भावित मान है ( हैं)

माना कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक फलन है | हम कहते हैं कि $$f$$ में

गुण 1 (PROPERTY 1) है यदि $$\lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$$ का अस्तित्व (exists) है और वह परिमित (finite) है, और

गुण 2 (PROPERTY 2) है यदि $$\lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^{2}}$$ का अस्तित्व (exists) है और वह परिमित (finite) है।

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं)?

माना कि $$x \in \mathbb{R}$$ और माना कि

$$P=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\0 & 2 & 2 \\0 & 0 & 3\end{array}\right], \quad Q=\left[\begin{array}{lll} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{array}\right] \text { और } R=P Q P^{-1} .$$

तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं )?

माना कि

$${P_1} = I = \left[ {\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right],{P_2} = \left[ {\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr } } \right],{P_3} = \left[ {\matrix{ 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right],$$

$${P_4} = \left[ {\matrix{ 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & 0 \cr } } \right],{P_5} = \left[ {\matrix{ 0 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr } } \right],{P_6} = \left[ {\matrix{ 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr } } \right]$$

और $$X = \sum\limits_{k = 1}^6 {{P_k}\left[ {\matrix{ 2 & 1 & 3 \cr 1 & 0 & 2 \cr 3 & 2 & 1 \cr } } \right]P_k^T} $$

जहाँ आव्यूह (matrix) $$P_{k}$$ के परिवर्त (transpose) को $$P_{k}^{T}$$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सही है ( हैं)?

माना कि $$\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ और $$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$$ दो सदिश (vector) हैं। माना कि एक सदिश $$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ है यदि सदिश $$(\vec{a}+\vec{b})$$ पर $$\vec{c}$$ का प्रक्षेप (projection) $$3 \sqrt{2}$$ है, तब $$(\vec{c}-(\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$$ का निम्नतम (minimum) मान बराबर ________

माना $$|X|$$ समुच्चय (set) $$X$$ के तत्वों (elements) की संख्या दर्शाता है| माना कि $$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$ एक प्रतिदर्श समिष्ट (sample space) है जिसमें प्रत्येक तत्व के आने की संभावना समान है। यदि $$A$$ और $$B$$, प्रतिदर्श समिष्ट $$S$$ से सम्बद्ध स्वतंत्र घटनाएँ (independent events) हैं तब उन क्रमित-युग्मों (ordered pairs) $$(A, B)$$ की संख्या, जिसमें $$1 \leq|B| < |A|$$ हो, बराबर _________

माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक (positive integer) $$n$$ के लिए

$$\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc} \sum_\limits{k=0}^{n} k & \sum_\limits{k=0}^{n}{ }^{n} C_{k} k^{2} \\ \sum_\limits{k=0}^{n}{ }^{n} C_{k} k & \sum_\limits{k=0}^{n}{ }^{n} C_{k} 3^{k} \end{array}\right]=0 .$$

तब $$\sum_\limits{k=0}^{n} \frac{{ }^{n} C_{k}}{k+1}$$ बराबर ________

पांच व्यक्ति $$A, B, C, D$$ और $$E$$ वृत्तीय क्रम (circular arrangement) में बैठे हैं। यदि प्रत्येक को तीन रंगो लाल, नीले और हरे रंग की टोपियों में से एक रंग की टोपी दी जाती है, तब टोपियों को कितने प्रकार से बाँट सकते हैं जिससे संलग्न (adjacent) बैठे व्यक्तियों की टोपियों के रंग भित्र हों _________

समाकल (integral)

$$\int_\limits{0}^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\cos \theta}}{(\sqrt{\cos \theta}+\sqrt{\sin \theta})^{5}} d \theta$$

का मान बराबर __________

अंतराल (interval) $$\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$ में

$$\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sum_\limits{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)\right)$$

का मान बराबर __________

माना कि $$f(x)=\sin (\pi \cos x)$$ और $$g(x)=\cos (2 \pi \sin x)$$ दो फलन (function) हैं जो $$x > 0$$ में परिभाषित हैं। निम्नलिखित समुच्चय (sets) जिनके तत्वों को बढ़ते हुए क्रम में लिखा गया है, इस प्रकार परिभाषित हैं।

$$\begin{array}{cc} X=\{x: f(x)=0\}, & Y=\left\{x: f^{\prime}(x)=0\right\}, \\ Z=\{x: g(x)=0\}, & W=\left\{x: g^{\prime}(x)=0\right\} . \end{array}$$

सूची-I (List-I) में $$X, Y, Z$$ और $$W$$ समुच्चय हैं| सूची-II (List - II) में इन समुच्चयों के बारे में कुछ सूचनाएं हैं।

	सूची-।		सूची-II
(I)	$$X$$	(P)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, 4 \pi, 7 \pi\right\}$$
(II)	$$Y$$	(Q)	समान्तर श्रेणी (an arithmetic progression)
(III)	$$Z$$	(R)	समान्तर श्रेणी नहीं है (NOT an arithmetic progression)
(IV)	$$W$$	(S)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}\right\}$$
		(T)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \pi\right\}$$
		(U)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{4}\right\}$$

निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है?

माना कि $$f(x)=\sin (\pi \cos x)$$ और $$g(x)=\cos (2 \pi \sin x)$$ दो फलन (function) हैं जो $$x > 0$$ में परिभाषित हैं। निम्नलिखित समुच्चय (sets) जिनके तत्वों को बढ़ते हुए क्रम में लिखा गया है, इस प्रकार परिभाषित हैं।

$$\begin{array}{cc} X=\{x: f(x)=0\}, & Y=\left\{x: f^{\prime}(x)=0\right\}, \\ Z=\{x: g(x)=0\}, & W=\left\{x: g^{\prime}(x)=0\right\} . \end{array}$$

सूची-I (List-I) में $$X, Y, Z$$ और $$W$$ समुच्चय हैं| सूची-II (List - II) में इन समुच्चयों के बारे में कुछ सूचनाएं हैं।

	सूची-।		सूची-II
(I)	$$X$$	(P)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, 4 \pi, 7 \pi\right\}$$
(II)	$$Y$$	(Q)	समान्तर श्रेणी (an arithmetic progression)
(III)	$$Z$$	(R)	समान्तर श्रेणी नहीं है (NOT an arithmetic progression)
(IV)	$$W$$	(S)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}\right\}$$
		(T)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \pi\right\}$$
		(U)	$$\supseteq\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{4}\right\}$$

निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है?

माना कि वृत्त (circle) $$C_{1}: x^{2}+y^{2}=9$$ और वृत्त $$C_{2}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$$, एक दूसरे को बिन्दुओं $$X$$ और $$Y$$ पर काटते हैं। मान लीजिये एक और वृत्त $$C_{3}:(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :

(i) $$C_{3}$$ का केंद्र (centre), $$C_{1}$$ और $$C_{2}$$ के केन्द्रों के सरेख (collinear) है।

(ii) $$C_{1}$$ और $$C_{2}$$ दोनों $$C_{3}$$ के अन्दर हैं और

(iii) $$C_{3}, C_{1}$$ को $$M$$ और $$C_{2}$$ को $$N$$ पर स्पर्श करता है

माना कि $$X$$ और $$Y$$ से होकर जाने वाली रेखा $$C_{3}$$ को $$Z$$ और $$W$$ पर काटती है तथा $$C_{1}$$ और $$C_{3}$$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा (common tangent), परवलय $$x^{2}=8 \alpha y$$ की स्पर्श-रेखा है।

सूची-I (List-I) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-II (List-II) में हैं।

	सूची-।		सूची-II
(I)	$$2 h+k$$	(P)	$$6$$
(II)	$$\frac{Z W \text { की लम्बाई }}{X Y \text { की लम्बाई }}$$	(Q)	$$\sqrt{6}$$
(III)	$$\frac{\text{त्रिभुज MZN का क्षेत्रफल} }{\text{त्रिभुज ZMW का क्षेत्रफल}}$$	(R)	$$\frac{5}{4}$$
(IV)	$$\alpha$$	(S)	$$\frac{21}{5}$$
		(T)	$$2\sqrt6$$
		(U)	$$\frac{10}{3}$$

निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन गलत है?

माना कि वृत्त (circle) $$C_{1}: x^{2}+y^{2}=9$$ और वृत्त $$C_{2}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$$, एक दूसरे को बिन्दुओं $$X$$ और $$Y$$ पर काटते हैं। मान लीजिये एक और वृत्त $$C_{3}:(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :

(i) $$C_{3}$$ का केंद्र (centre), $$C_{1}$$ और $$C_{2}$$ के केन्द्रों के सरेख (collinear) है।

(ii) $$C_{1}$$ और $$C_{2}$$ दोनों $$C_{3}$$ के अन्दर हैं और

(iii) $$C_{3}, C_{1}$$ को $$M$$ और $$C_{2}$$ को $$N$$ पर स्पर्श करता है

माना कि $$X$$ और $$Y$$ से होकर जाने वाली रेखा $$C_{3}$$ को $$Z$$ और $$W$$ पर काटती है तथा $$C_{1}$$ और $$C_{3}$$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा (common tangent), परवलय $$x^{2}=8 \alpha y$$ की स्पर्श-रेखा है।

सूची-I (List-I) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-II (List-II) में हैं।

	सूची-।		सूची-II
(I)	$$2 h+k$$	(P)	$$6$$
(II)	$$\frac{Z W \text { की लम्बाई }}{X Y \text { की लम्बाई }}$$	(Q)	$$\sqrt{6}$$
(III)	$$\frac{\text{त्रिभुज MZN का क्षेत्रफल}}{\text{त्रिभुज ZMW का क्षेत्रफल}}$$	(R)	$$\frac{5}{4}$$
(IV)	$$\alpha$$	(S)	$$\frac{21}{5}$$
		(T)	$$2\sqrt6$$
		(U)	$$\frac{10}{3}$$

निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है?