मान लें $\mathrm{S}=\mathbf{N} \cup\{0\}$। से $\mathrm{S}$ से $\mathbf{R}$ में एक संबंध R को इस प्रकार परिभाषित करें:

$$ \mathrm{R}=\left\{(x, y): \log _{\mathrm{e}} y=x \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{2}{5}\right), x \in \mathrm{~S}, y \in \mathbf{R}\right\} . $$

तब, $R$ के क्षेत्र के सभी तत्वों का योग निम्नलिखित के बराबर है :

मान लें $A = [a_{ij}]$ एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स है जिसमें $a_{ij} \in \{0, 1\}$ सभी $i$ और $j$ के लिए। यादृच्छिक चर $X$ $A$ के नियतांक के संभावित मानों को निरूपित करता है। तब, $X$ का विचलन निम्नलिखित है:

मान लें एक सीधी रेखा $L$ बिंदु $P(2, -1, 3)$ से गुजरती है और रेखाओं के लंबवत है $ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{-2} $ और $ \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 2}{4} $। यदि रेखा $L$ $yz$-समतल को बिंदु $Q$ पर काटती है, तो बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी निम्नलिखित है:

यदि फंक्शन $ \log_5(18x - x^2 - 77) $ का डोमेन $ (\alpha, \beta) $ है और फंक्शन $ \log_{(x-1)} \left( \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 - 3x - 4} \right) $ का डोमेन $(\gamma, \delta)$ है, तो $ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 $ निम्नलिखित के बराबर है:

मान लें $ \hat{a} $ एक इकाई सदिश है जो सदिशों $ \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} $ और $ \vec{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} $ के लंबवत है, और $ \hat{a} $, सदिश $ \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $ के साथ $ \cos^{-1} \left( -\frac{1}{3} \right) $ का कोण बनाता है। यदि $ \hat{a} $ सदिश $ \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k} $ के साथ $ \frac{\pi}{3} $ का कोण बनाता है, तो $ a $ का मान निम्नलिखित है:

वे $ \alpha, \beta \ (\alpha \neq \beta) $ वो $ m $ के मान हैं, जिनके लिए समीकरण $ x+y+z=1 $, $ x+2y+4z=m $ और $ x+4y+10z=m^2 $ के अनंत समाधान हैं। तब $ \sum\limits_{n=1}^{10} (n^{\alpha}+n^{\beta}) $ का मान है :

वे सभी $a \in \mathbf{R}$ का सेट, जिसके लिए समीकरण $2 x^2+(a-5) x+15=3 a$ के कोई वास्तविक मूल नहीं है, ( $\alpha, \beta$ ) अंतराल है, और $X=|x \in Z ; \alpha < x < \beta|$, तो $\sum\limits_{x \in X} x^2$ का मान है:

रेखा x + y = 1 क्रमशः x और y अक्षों पर A और B पर मिलती है। एक समकोण त्रिभुज AMN, त्रिभुज OAB में अंकित है, जहाँ O मूल है और बिंदु M और N क्रमशः रेखाओं OB और AB पर स्थित हैं। यदि त्रिभुज AMN का क्षेत्रफल, त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल का $ \frac{4}{9} $ है और AN : NB = $ \lambda : 1 $ है, तो $ \lambda $ के सभी संभावित मानों का योग है:

बैग 1 में 4 सफेद गेंदें और 5 काली गेंदें हैं, और बैग 2 में n सफेद गेंदें और 3 काली गेंदें हैं। बैग 1 से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है और बैग 2 में डाल दी जाती है। फिर बैग 2 से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। यदि संभावना यह है कि निकाली गई गेंद सफेद है, $ \frac{29}{45} $ है, तो n का मान है:

जब $7^{103}$ को 23 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल है:

यदि $\alpha x+\beta y=109$ दी गई अंडाकार $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ की जीव की समीकरण है, जिसका मध्य बिंदु $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है। तो $\alpha+\beta$ का मान है :

एक वृत्त C बिंदुओं (4, 2) और (0, 2) से गुजरता है, और जिसका केंद्र 3x + 2y + 2 = 0 पर स्थित है। तो उस वृत्त C की जीव की लंबाई, जिसका मध्य बिंदु (1, 2) है:

यदि विभेदक समीकरण $\frac{d y}{d x}+(\tan x) y=\frac{2+\sec x}{(1+2 \sec x)^2}$ के हल वक्र $y=f(x)$ के लिए, $x \in\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{10}$, तो $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान है:

मान लें कि $\mathrm{A}=\left[a_{i j}\right]$ एक $3 \times 3$ क्रम का मैट्रिक्स है, जहाँ $a_{i j}=(\sqrt{2})^{i+j}$। यदि $A^2$ की तीसरी पंक्ति के सभी तत्वों का योग $\alpha+\beta \sqrt{2}$ है, जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbf{Z}$, तो $\alpha+\beta$ कितना है:

यदि $\sin x + \sin^2 x = 1$, $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, तब

$(\cos^{12} x + \tan^{12} x) + 3(\cos^{10} x + \cos^8 x + \tan^8 x) + (\cos^6 x + \tan^6 x)$ का मान है:

यदि $f(x)=\int\limits_0^x \mathrm{t}\left(\mathrm{t}^2-9 \mathrm{t}+20\right) \mathrm{dt}, 1 \leq x \leq 5$ है। यदि $f$ का रेंज $[\alpha, \beta]$ है, तो $4(\alpha+\beta)$ का मूल्य है :

परवलय वक्र $|y| = 1 - x^2$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के बीच घिरी हुई क्षेत्रफल $\alpha$ हो। यदि $9\alpha = \beta \pi + \gamma; \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं, तो $|\beta - \gamma|$ का मान है:

मान लीजिए कि P बिंदु $(1,2,2)$ से रेखा $\mathrm{L}: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2}$ पर लंबवत भ्रमण का पाद है।
रेखा $\vec{r}=(-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}), \lambda \in \mathbf{R}$, रेखा L को Q पर प्रतिच्छेदन करती है। तब $2(\mathrm{PQ})^2$ का मान है :

यदि शब्द "KANPUR" के सभी अक्षरों का उपयोग करते हुए अर्थसहित या अर्थरहित सभी शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें एक शब्दकोश में व्यवस्थित किया जाता है, तो इस क्रम में 440^वाँ स्थान कौन सा शब्द है :

यदि फलन $f(x)=\left(x^2-1\right)\left|x^2-a x+2\right|+\cos |x|$ दो बिंदुओं $x=\alpha=2$ और $x=\beta$ पर अविकलनीय हो, तो बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा $12 x+5 y+10=0$ से दूरी का मान है :

यदि $ 24 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \bigg[\sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| + [2 \sin x] \bigg] dx = 2\pi + \alpha $, जहाँ $[\cdot]$ महानतम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\alpha$ बराबर है ________.

मान लीजिए $y^2=12 x$ एक परवली है और $S$ इसका फोकस है। $P Q$ पराबोला की एक फोकल चॉर्ड है ऐसी कि $(S P)(S Q)=\frac{147}{4}$। $C$ वह वृत्त है जो $P Q$ को व्यास बनाकर बनाया गया है। यदि वृत्त $C$ का समीकरण $64 x^2+64 y^2-\alpha x-64 \sqrt{3} y=\beta$ है, तब $\beta-\alpha$ के बराबर है $\qquad$ ।

मान लीजिए पूर्णांक $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in[-3,3]$ हैं ऐसे कि $\mathrm{a}+\mathrm{b} \neq 0$। तब सभी संभव सुसज्जित युग्मों की संख्या (a, b) के लिए, जिनके लिए $\left|\frac{z-\mathrm{a}}{z+\mathrm{b}}\right|=1$ और $\left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|=1, z \in \mathrm{C}$, जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ $x^2+x+1=0$ के मूल हैं, के बराबर है _____________ ।

यदि $\lim\limits _{t \rightarrow 0}\left(\int\limits_0^1(3 x+5)^t d x\right)^{\frac{1}{t}}=\frac{\alpha}{5 e}\left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{2}{3}}$, तो $\alpha$ के बराबर है ________________.

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ एक अंकगणितीय प्रगति है ऐसी कि $a_1+\left(a_5+a_{10}+a_{15}+\ldots+a_{2020}\right)+a_{2024}=2233$। तब $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2024}$ के बराबर है _________।