यदि $ 24 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \bigg[\sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| + [2 \sin x] \bigg] dx = 2\pi + \alpha $, जहाँ $[\cdot]$ महानतम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\alpha$ बराबर है ________.