मान लें $ \hat{a} $ एक इकाई सदिश है जो सदिशों $ \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} $ और $ \vec{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} $ के लंबवत है, और $ \hat{a} $, सदिश $ \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $ के साथ $ \cos^{-1} \left( -\frac{1}{3} \right) $ का कोण बनाता है। यदि $ \hat{a} $ सदिश $ \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k} $ के साथ $ \frac{\pi}{3} $ का कोण बनाता है, तो $ a $ का मान निम्नलिखित है: