यदि फलन $$f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{2 x} ; x>0, x=\frac{1}{\mathrm{e}}$$ पर उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो :

यदि $$z_1, z_2$$ दो भिन्न सम्मिश्र संख्याऐं इस प्रकार है कि $$\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|=2$$ है, तो :

माना $$\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}$$ है। माना $$\mathrm{A}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}$$ इस प्रकार परिभाषित है कि $$x \mathrm{Ry}$$ यदि और केवल यदि $$4 x \leq 5 y$$ । माना $$R$$ में अवयवों की संख्या $$m$$ है तथा $$R$$ को एक सममित संबंध बनाने के लिए, $$R$$ में $$\mathrm{A} \times \mathrm{A}$$ से जुड़ने वाले आवश्यक अवयवों की न्यूनतम संख्या $$\mathrm{n}$$ है, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है -

माना फलन $$f(x)=\frac{1}{7-\sin 5 x}, \mathbf{R}$$ पर परिभाषित है। तो फलन $$f(x)$$ का परिसर बराबर है :

$$\lim _\limits{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1^2-1\right)(n-1)+\left(2^2-2\right)(n-2)+\cdots+\left((n-1)^2-(n-1)\right) \cdot 1}{\left(1^3+2^3+\cdots \cdots+n^3\right)-\left(1^2+2^2+\cdots \cdots+n^2\right)}$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{A}$$ कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि $$\operatorname{det}(\mathrm{A})=3$$ है तथा $$\operatorname{det}\left(\operatorname{adj}\left(-4 \operatorname{adj}\left(-3 \operatorname{adj}\left(3 \operatorname{adj}\left((2 \mathrm{~A})^{-1}\right)\right)\right)\right)\right)=2^{\mathrm{m}} 3^{\mathrm{n}}$$, तो $$\mathrm{m}+2 \mathrm{n}$$ बराबर है -

यदि तीन पन्रों को 5 भिन्न पतों में से किसी पर भी भेजा जा सकता हो, तो तीन पत्रों को ठीक दो पतों पर भेजे जाने की प्रायिकता है :

माना $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=((\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\hat{i}+\hat{j})) \times \hat{i}) \times \hat{i}$$ हैं। तो $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ पर $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ के प्रक्षेप का वर्ग है :

माना $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{i}+\hat{j}$$ है। यदि एक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ इस प्रकार है कि $$|\overrightarrow{\mathrm{c}}| \geq 6, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=6|\overrightarrow{\mathrm{c}}|,|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|=2 \sqrt{2}$$ तथा $$\vec{a} \times \vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ के मध्य का कोण $$60^{\circ}$$ है, तो $$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$$ बराबर है :

यदि क्षेत्र $$\left\{(x, y): \frac{\mathrm{a}}{x^2} \leq y \leq \frac{1}{x}, 1 \leq x \leq 2,0 < \mathrm{a} < 1\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\left(\log _{\mathrm{e}} 2\right)-\frac{1}{7}$$ है, तो $$7 \mathrm{a}-3$$ का मान बराबर है -

माना रेखा $$\frac{x-0}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{-1}$$ में बिन्दु $$\mathrm{Q}(3,-3,1)$$ का प्रतिबिंब बिन्दु $$\mathrm{P}(\alpha, \beta, \gamma)$$ है और $$\mathrm{R}(2,5,-1)$$ एक अन्य बिन्दु है। यदि त्रिभुज $$\mathrm{PQR}$$ का क्षेत्रफल $$\lambda$$ है तथा $$\lambda^2=14 K$$, तो $$K$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{ABC}$$ एक समबाहु त्रिभुज है। त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की सभी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने से एक नया त्रिभुज बनाया गया है तथा इसी प्रक्रिया को अनन्त बार दोहराया गया है। यदि इस प्रक्रिया से बने सभी त्रिभुजों के परिमापों का योग $$\mathrm{P}$$ है तथा क्षेत्रफलों का योग $$\mathrm{Q}$$ है, तो :

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{(2+\alpha) x-\beta y+2}{\beta x-2 \alpha y-(\beta \gamma-4 \alpha)}$$ का हल मूल बिन्दु से गुजरने वाले वृत्त को दर्शांता है, तो इस वृत्त की त्रिज्या है -

एक कार्य को 17 दिन में समाप्त करने के लिए एक साफ्टवेयर कंपनी ने $$\mathrm{m}$$ कंप्यूटर स्थापित किए। यदि दूसरे दिन के शुरू में ही 4 कंघ्यूटर खराब हो गए, तीसरे दिन के शुरू में 4 और कंप्यूटर खराब हो गए, और इसी प्रकार से आगे के दिनों में भी, तो कार्य को समाप्त करने में 8 दिन अधिक लगे। $$\mathrm{m}$$ का मान बराबर है :

यदि $$\mathrm{P}(6,1)$$ उस त्रिभुज का लंबकेन्द्र है, जिसके शीर्ष $$\mathrm{A}(5,-2), \mathrm{B}(8,3)$$ तथा $$\mathrm{C}(\mathrm{h}, \mathrm{k})$$ हैं, तो बिन्दु $$\mathrm{C}$$ किस वृत्त पर स्थित है -

यदि "NAGPUR" शब्द के सभी अक्षरों के प्रयोग से बने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों को शब्दकोश में व्यवस्थित किया जाता है, तो इस शव्दकोश में 315-वीं स्थिति पर शब्द है :

मान लीजिए कि अवकलनीय फलन $$h$$ के लिए, $$h(0)=0, h(1)=1$$ तथा $$h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$$ हैं। यदि $$g(x)=h\left(\mathrm{e}^x\right) \mathrm{e}^{h(x)}$$, तो $$\mathrm{g}^{\prime}(0)$$ बराबर है -

माना $$0 \leq r \leq n$$ है। यदि $${ }^{n+1} C_{r+1}:{ }^n C_r:{ }^{n-1} C_{r-1}=55: 35: 21$$ है, तो $$2 n+5 r$$ बराबर है :

यदि $$\int \frac{1}{\mathrm{a}^2 \sin ^2 x+\mathrm{b}^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{12} \tan ^{-1}(3 \tan x)+$$ अचर है, तो $$\mathrm{a} \sin x+\mathrm{b} \cos x$$ का उच्चम मान है :

यदि उस बिन्दु, जिसकी बिन्दुओं $$(2,1)$$ और $$(1,3)$$ से दूरियों का अनुपात $$5: 4$$ है, का बिन्दुपथ $$\mathrm{a} x^2+\mathrm{b} y^2+\mathrm{c} x y+\mathrm{d} x+\mathrm{e} y+170=0$$ है, तो $$\mathrm{a}^2+2 \mathrm{~b}+3 \mathrm{c}+4 \mathrm{~d}+\mathrm{e}$$ का मान बराबर है -

माना $$[\mathrm{t}], \mathrm{t}$$ से कम या $$\mathrm{t}$$ के बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शांता है। माना फलन $$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\left[\frac{x}{2}+3\right]-[\sqrt{x}]$$ द्वारा परिभाषित है। माना $$\mathrm{S}$$, अन्तराल $$[0,8]$$ में उन सभी बिन्दुओं का समुच्यय है, जहाँ $$f$$ संतत नहीं है। तो $$\sum_\limits{a \in S} \mathrm{a}$$ बराबर है __________

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ में, $$\mathrm{BC}=7, \mathrm{AC}=8, \mathrm{AB}=\alpha \in \mathrm{N}$$ तथा $$\cos \mathrm{A}=\frac{2}{3}$$ है। यदि $$49 \cos (3 \mathrm{C})+42=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$, जहाँ $$\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$$, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है __________

माना $$[t], t$$ से कम या $$t$$ के बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शांता है। यदि $$\int_\limits0^3\left(\left[x^2\right]+\left[\frac{x^2}{2}\right]\right) \mathrm{d} x=\mathrm{a}+\mathrm{b} \sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}+\mathrm{c} \sqrt{6}-\sqrt{7}$$, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathrm{Z}$$, तो $$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$$ बराबर है _______

यदि अवकल समीकरण $$\left(e^y+1\right) \cos x \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^y \sin x \mathrm{~d} y=0$$ का हल $$y(x)$$ बिन्दु $$\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$$ से गुजरता है, तो $$\mathrm{e}^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)}$$ का मान बरावर है ________

यदि रेखाओं $$\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{1}$$ तथा $$\frac{x+2}{-3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-4}{4}$$ के बीच की न्यूनतम दूरी $$\frac{44}{\sqrt{30}}$$ है, तो $$|\lambda|$$ का अधिकतम संभव मान बराबर है ________

किसी $$\mathrm{e}$$ उक्केन्द्रता वाले अतिपरवलय, जिसके नाभीयलंब की लम्बाई तथा नियताएँ क्रमश: 9 तथा $$x= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$$ हैं। माना रेखा $$y-\sqrt{3} x+\sqrt{3}=0$$ इस अतिपर्वलय को $$\left(x_0, y_0\right)$$ पर स्पर्श करती है। यदि $$\mathrm{m}$$ बिन्दु $$\left(x_0, y_0\right)$$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल है, तो $$4 \mathrm{e}^2+\mathrm{m}$$ बराबर है _________

माना $$x^2+\sqrt{2} x-8=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं। यदि $$\mathrm{U}_{\mathrm{n}}=\alpha^{\mathrm{n}}+\beta^{\mathrm{n}}$$, तो $$\frac{\mathrm{U}_{10}+\sqrt{2} \mathrm{U}_9}{2 \mathrm{U}_8}$$ बराबर है ______

यदि समीकरणों का निकाय

$$\begin{aligned} & 2 x+7 y+\lambda z=3 \\ & 3 x+2 y+5 z=4 \\ & x+\mu y+32 z=-1 \end{aligned}$$

अनन्त हल रखता है, तो $$(\lambda-\mu)$$ बराबर है ________

यदि $$S(x)=(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+\cdots+60(1+x)^{60}, x \neq 0$$, तथा $$(60)^2 S(60)=a(b)^b+b$$, जहाँ $$a, b \in N$$, तो $$(a+b)$$ बराबर है ________

12 वस्तुओं की एक खेप से, जिसमें 3 वस्तुएँ खराब हैं, 5 वस्तुओं का एक नमूना यादृच्छया निकाला जाता है। माना $$\mathrm{X}$$ एक यादृच्छिक चर है जो नमूने में खराब वस्तुओं की संख्या को दर्शांता है। माना नमूने से वस्तुओं को एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। यदि $$\mathrm{X}$$ का प्रसरण $$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$ है, जहाँ $$\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$$, तो $$\mathrm{n}-\mathrm{m}$$ बराबर है _________