माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{lr}-2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-2, & 0 < x \leq 2\end{array}\right.$$ तथा $$\mathrm{h}(x)=f(x \mid)+|f(x)|$$ हैं। तो $$\int_\limits{-2}^2 \mathrm{~h}(x) \mathrm{d} x$$ बराबर है :

वक्रों $$y=1+3 x-2 x^2$$ तथा $$y=\frac{1}{x}$$ का एक प्रतिच्छेदन बिंदु $$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$$ है। माना इन वक्रों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\frac{1}{24}(l \sqrt{5}+\mathrm{m})-\mathrm{n} \log _{\mathrm{e}}(1+\sqrt{5})$$ है, जहाँ $$l, \mathrm{~m}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ है। तो $$l+\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है :

माना $$\alpha \in(0, \infty)$$ है तथा $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$$ है। यदि $$\operatorname{det}\left(\operatorname{adj}\left(2 \mathrm{~A}-\mathrm{A}^{\mathrm{T}}\right) \cdot \operatorname{adj}\left(\mathrm{A}-2 \mathrm{~A}^{\mathrm{T}}\right)\right)=2^8$$ है, तो $$(\operatorname{det}(\mathrm{A}))^2$$ बराबर है :

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की भुजा $$\mathrm{AB}$$ पर, $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ के अतिरिक्त 5 बिंदु $$\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3, \mathrm{P}_4, \mathrm{P}_5$$ हैं। इसी प्रकार त्रिभुज की भुजा $$\mathrm{BC}$$ पर 6 बिंदु $$\mathrm{P}_6, \mathrm{P}_7, \mathrm{P}_8, \mathrm{P}_9, \mathrm{P}_{10}, \mathrm{P}_{11}$$ हैं तथा भुजा $$\mathrm{CA}$$ पर 7 बिंदु $$\mathrm{P}_{12}, \mathrm{P}_{13}, \ldots, \mathrm{P}_{18}$$ हैं। बिंदुओं $$\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots, \mathrm{P}_{18}$$ को शीर्ष बिंदु लेकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है :

वृत्त $$x^2+y^2-10 x-6 y+30=0$$ के अंतर्गत एक वर्ग है। वर्ग की एक भुजा $$y=x+3$$ के समांतर है। यदि वर्ग के शीर्ष $$\left(x_i, y_i\right)$$ हैं, तो $$\Sigma\left(x_i^2+y_i^2\right)$$ बराबर है:

माना $$\alpha, \beta \in \mathbf{R}$$ हैं। माना 6 प्रेक्षणों $$-3,4,7,-6, \alpha, \beta$$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 2 तथा 23 हैं। तो इन 6 प्रेक्षणों का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है :

माना सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए $$f(x)=x^5+2 \mathrm{e}^{x / 4}$$ है। एक फलन $$g(x)$$, जिसके लिए $$(g \circ f)(x)=x \quad \forall x \in \mathbf{R}$$ है, का विचार कीजिए। तो $$8 g^{\prime}(2)$$ का मान है :

माना सदिश $$2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$$ से $$60^{\circ}$$ का कोण तथा सदिश $$\hat{i}-\hat{k}$$ से $$45^{\circ}$$ का कोण बनाने वाला एक मात्रक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{C}}$$ है। तो $$\overrightarrow{\mathrm{C}}+\left(-\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{1}{3 \sqrt{2}} \hat{j}-\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{k}\right)$$ है :

यदि फलन $$\sin ^{-1}\left(\frac{3 x-22}{2 x-19}\right)+\log _e\left(\frac{3 x^2-8 x+5}{x^2-3 x-10}\right)$$ का प्राँत $$(\alpha, \beta]$$ है, तो $$3 \alpha+10 \beta$$ बराबर है :

माना बिंदुओं $$P(1,-2,3)$$ तथा $$Q(5,-4,7)$$ से होकर जाने वाली रेखा पर, मूल बिंदु से ज्यादा दूर तथा बिंदु $$P$$ से 9 इकाई दूरी पर, स्थित बिंदु $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$$ बराबर है :

एक त्रिभुज के शीर्ष $$\mathrm{A}(-1,3), \mathrm{B}(-2,2)$$ तथा $$\mathrm{C}(3,-1)$$ हैं। इस त्रिभुज की भुजाओं को त्रिभुज के अंदर की तरफ एक इकाई स्थानांतरित कर एक नया त्रिभुज बनाया गया है। तो नए त्रिभुज की मूलबिंदु के सबसे निकट भुजा का समीकरण है :

तीन थैलों A, B तथा C में क्रमश: 7 लाल, 5 काली; 5 लाल, 7 काली तथा 6 लाल, 6 काली गेंदें हैं। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा इसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद काली है, तो इसके थैलें $$\mathrm{A}$$ से निकाले जाने की प्रायिकता है:

यदि अवकल समीकरण $$(x^4+2 x^3+3 x^2+2 x+2) \mathrm{d} y-(2 x^2+2 x+3) \mathrm{d} x=0$$ का हल $$y=y(x), y(-1)=-\frac{\pi}{4}$$ को संतुष्ट करता है, तो $$y(0)$$ बराबर है :

माना एक G.P. के प्रथम तीन पद $$2, \mathrm{p}$$ तथा $$\mathrm{q}$$, जहाँ $$\mathrm{q} \neq 2$$, एक A.P. के क्रमशः 7 वाँ, 8 वाँ तथा 13 वाँ पद हैं। यदि G.P. का 5 वाँ पद, A.P. का $$\mathrm{n}$$ वाँ पद है, तो $$\mathrm{n}$$ बराबर है :

$$\left(2^{\frac{1}{5}}+5^{\frac{1}{3}}\right)^{15}$$ के प्रसार में सभी परिमेय पदों का योग है :

यदि समीकरण $$\mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{b} x+1=0$$ के मूल 2 तथा 6 हैं, तो वह द्विघात समीकरण, जिसके मूल $$\frac{1}{2 \mathrm{a}+\mathrm{b}}$$ तथा $$\frac{1}{6 \mathrm{a}+\mathrm{b}}$$ हैं, है :

माना फलन $$f(x)=\frac{2 x^2-3 x+8}{2 x^2+3 x+8}$$ के उच्चतम तथा न्यूनतम मानों का योग $$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$, जहाँ $$\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$$, है। तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है :

यदि समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x+(\sqrt{2} \sin \alpha) y+(\sqrt{2} \cos \alpha) z=0 \\ & x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0 \\ & x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0 \end{aligned}$$

का अतुच्छ हल है, तो $$\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ बराबर है :

माना समीकरण $$(\bar{z})^2+|z|=0, z \in \mathrm{C}$$ के सभी शून्येत्तर हलों के योग और गुणनफल क्रमश: $$\alpha$$ और $$\beta$$ हैं। तो $$4\left(\alpha^2+\beta^2\right)$$ बराबर है :

माना एक फलन $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ को

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1-\cos 2 x}{x^2}, & x<0 \\ \alpha, & x=0 \\ \frac{\beta \sqrt{1-\cos x}}{x}, & x>0 \end{array}\right.$$

से परिभाषित किया जाता है, जहाँ $$\alpha, \beta \in \mathbf{R}$$ । यदि $$x=0$$ पर फलन $$f$$ संतत है, तो $$\alpha^2+\beta^2$$ के बराबर है :

माना अवकल समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=1+4 \sin x$$ के हल $$y=y(x)$$ के लिए $$y(\pi)=1$$ है। तो $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)+10$$ बराबर है _______

यदि रेखाओं $$\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-5}{4}$$ तथा $$\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{2}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\frac{38}{3 \sqrt{5}} \mathrm{k}$$ है तथा $$\int_\limits0^k\left[x^2\right] \mathrm{d} x=\alpha-\sqrt{\alpha}$$ है, जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $$6 \alpha^3$$ बराबर है __________.

माना $$\mathrm{A}$$ कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह है, जिसके लिए $$|\mathrm{A}|=2$$ है तथा जिसके विकर्ण के अवयवों का योग $$-3$$ है। यदि $$\mathrm{A}^2+x \mathrm{~A}+y \mathrm{I}=\mathrm{O}$$ को संतुष्ट करने वाले बिंदु $$(x, y)$$ एक अतिपरवलय पर हैं, जिसका अनुप्रस्थ अक्ष $$x$$-अक्ष के समांतर है, उत्केन्द्रता $$\mathrm{e}$$ है तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है, तो $$\mathrm{e}^4+l^4$$ बराबर है _______.

If $$\lim _\limits{x \rightarrow 1} \frac{(5 x+1)^{1 / 3}-(x+5)^{1 / 3}}{(2 x+3)^{1 / 2}-(x+4)^{1 / 2}}=\frac{m \sqrt{5}}{n(2 n)^{2 / 3}}$$, where $$\operatorname{gcd}(m, n)=1$$, then $$8 m+12 n$$ is equal to _______

माना ऋणेत्तर वास्तविक अवयवों का $$3 \times 3$$ का एक आव्यूह $$\mathrm{A}$$ है तथा $$\mathrm{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$$ है। तो $$\operatorname{det}(\mathrm{A})$$ का अधिकतम मान है _______.

यदि $$\int_\limits0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^2 x}{1+\sin x \cos x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\mathrm{a}} \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{\mathrm{a}}{3}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{b} \sqrt{3}}$$, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{N}$$, है, तो $$\mathrm{a}+\mathrm{b}$$ बराबर है _________

एक उच्चतर माध्यमिक विद्यालय के 220 छात्रों के एक सर्वेक्षण में यह पाया गया कि कम से कम 125 तथा अधिक से अधिक 130 छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम 85 तथा अधिक से अधिक 95 छात्रों ने भौतिक विज्ञान का अध्ययन किया; कम से कम 75 तथा अधिक से अधिक 90 छात्रों ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; 30 छात्रों ने भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; 50 छात्रों ने रसायन विज्ञान तथा गणित दोनों का अध्ययन किया; 40 छात्रों ने गणित तथा भौतिक विज्ञान दोनों का अध्ययन किया तथा 10 छात्रों ने इन विषयों में से किसी का भी अध्ययन नहीं किया। माना सभी तीनों विषयों का अध्ययन करने वाले कम से कम तथा अधिक से अधिक छात्रों की संख्या क्रमशः $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ है। तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है ________

माना परवलय $$y^2=12 x$$ की नाभीय जीवा $$\mathrm{PQ}$$ की लंबाई 15 इकाई है। यदि मूलबिंदु से $$\mathrm{PQ}$$ की दूरी $$\mathrm{p}$$ है, तो $$10 \mathrm{p}^2$$ बराबर है _______

माना एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ का क्षेत्रफल $$15 \sqrt{2}$$ है तथा सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\mathrm{a} \hat{i}+\mathrm{b} \hat{j}+\mathrm{c} \hat{k}$$ और $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=6 \hat{i}+\mathrm{d} \hat{j}-2 \hat{k}, \mathrm{~d}>0$$ हैं। तो त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई का वर्ग है _________

माना $$\mathrm{a}=1+\frac{{ }^2 \mathrm{C}_2}{3!}+\frac{{ }^3 \mathrm{C}_2}{4!}+\frac{{ }^4 \mathrm{C}_2}{5!}+\ldots$$

$$\mathrm{b}=1+\frac{{ }^1 \mathrm{C}_0+{ }^1 \mathrm{C}_1}{1!}+\frac{{ }^2 \mathrm{C}_0+{ }^2 \mathrm{C}_1+{ }^2 \mathrm{C}_2}{2!}+\frac{{ }^3 \mathrm{C}_0+{ }^3 \mathrm{C}_1+{ }^3 \mathrm{C}_2+{ }^3 \mathrm{C}_3}{3!}+\ldots$$

हैं। तो $$\frac{2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}^2}$$ बराबर है ______