माना $$\mathrm{g}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ एक परिवर्तनीय तथा दो बार अवकलनीय फलन है और $$\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$$ है। यदि एक वास्तविक मान फलन $$f, f(x)=\frac{1}{2}[\mathrm{~g}(x)+\mathrm{g}(2-x)]$$ द्वारा परिभाषित है, तो :

$$\lim _\limits{n \rightarrow \infty} \sum_\limits{k=1}^n \frac{n^3}{\left(n^2+k^2\right)\left(n^2+3 k^2\right)}$$ का मान है :

यदि वृत्त $$(x+1)^2+(y+2)^2=r^2$$ तथा $$x^2+y^2-4 x-4 y+4=0$$ एक दूसरे को ठीक दो भिन्न बिंदुओं पर काटते हैं, तो :

माना दो सदिशों $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_1 \hat{i}+\mathrm{a}_2 \hat{j}+\mathrm{a}_3 \hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{b}_1 \hat{i}+\mathrm{b}_2 \hat{j}+\mathrm{b}_3 \hat{k}$$ के लिए $$|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=2$$ तथा $$|\vec{b}|=4$$ हैं। यदि $$\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$$ है, तो $$\vec{b}$$ तथा $$\vec{c}$$ के बीच कोण है :

त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष $$(0,0)$$ है तथा अन्य दो शीर्ष वक्र $$y=-2 x^2+54$$ के बिंदु $$(x, y)$$ तथा $$(-x, y)$$ हैं, जहाँ $$y>0$$ है, का अधिकतम क्षेत्रफल है :

यदि $$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}2 \cos ^4 x & 2 \sin ^4 x & 3+\sin ^2 2 x \\ 3+2 \cos ^4 x & 2 \sin ^4 x & \sin ^2 2 x \\ 2 \cos ^4 x & 3+2 \sin ^4 x & \sin ^2 2 x\end{array}\right|$$ है, तो $$\frac{1}{5} f^{\prime}(0)$$ बराबर है :

माना बिंदु $$(1,2,3)$$ से रेखा $$\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}$$ पर लंब का पाद $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो $$19(\alpha+\beta+\gamma)$$ बराबर है :

बिंदु $$\mathrm{A}(9,0)$$ से होकर जाने वाली एक रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा से $$30^{\circ}$$ का कोण बनाती है। यदि इस रेखा को घड़ी की दिशा में $$15^{\circ}$$ के कोण तक $$\mathrm{A}$$ के सापेक्ष घुमाया जाता है, तो नयी स्थिति में इसका समीकरण है :

रैखिक समीकरण निकाय $$x+y+z=4 \mu, x+2 y+2 \lambda z=10 \mu, x+3 y+4 \lambda^2 z=\mu^2+15$$, जहाँ $$\lambda, \mu \in \mathbf{R}$$ हैं, का विचार कीजिए। निम्न कथनों में से कौन सा सही नहीं है?

माना $$f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbf{R}$$ एक अवकलनीय फलन है तथा $$f(0)=\frac{1}{2}$$ है। यदि $$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(\mathrm{t}) \mathrm{dt}}{\mathrm{e}^{x^2}-1}=\alpha$$ है, तो $$8 \mathrm{a}^2$$ बराबर है :

यदि एक दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई, इसकी नाभियों के बीच की दूरी की आधी है, तो इस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है :

माना बारंबारता बंटन

वर्ग	$$0-4$$	$$4-8$$	$$8-12$$	$$12-16$$	$$16-20$$
बारंबारता	$$3$$	$$9$$	$$10$$	$$8$$	$$6$$

की माध्यिका $$\mathrm{M}$$ है। तो $$\mathrm{20 M}$$ बराबर है :

समुच्यय $$\{0,1,2,3, \ldots, 10\}$$ से प्रतिस्थापना सहित दो पूर्णांक $$x$$ तथा $$y$$ चुने जाते हैं। तो $$|x-y|>5$$ की प्रायिकता है :

माना एक समांतर चतुर्भुज $$\mathrm{ABCD}$$ के दो सम्मुख शीर्ष $$\mathrm{A}(2,3,5)$$ तथा $$\mathrm{C}(-3,4,-2)$$ हैं। यदि इसका विकर्ण $$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$$ है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है :

माना अवकल समीकरण $$\sec x \mathrm{~d} y+\{2(1-x) \tan x+x(2-x)\} \mathrm{d} x=0, y(0)=2$$ का हल $$y=y(x)$$ है। तो $$y(2)$$ बराबर है :

यदि $$z=x+i y, x y \neq 0$$ समीकरण $$z^2+\mathrm{i} \bar{z}=0$$ को संतुष्ट करता है, तो $$\left|z^2\right|$$ बराबर है :

यदि $$2 \sin ^3 x+\sin 2 x \cos x+4 \sin x-4=0$$ के अंतराल $$\left[0, \frac{\mathrm{n} \pi}{2}\right], \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ में ठीक 3 हल हैं, तो समीकरण $$x^2+\mathrm{n} x+(\mathrm{n}-3)=0$$ के मूल किस में हैं ?

यदि फलन $$f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)+\left\{\log _e(3-x)\right\}^{-1}$$ का प्राँत $$[-\alpha, \beta)-|\gamma|$$ है, तो $$\alpha+\beta+\gamma$$ बराबर है :

माना एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $$\mathrm{n}$$ पदों का योग $$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$$ है। यदि $$\mathrm{S}_{20}=790$$ तथा $$\mathrm{S}_{10}=145$$ हैं, तो $$\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5$$ बराबर है :

परवलय $$y^2=4(x-2)$$ तथा रेखा $$y=2 x-8$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है :

40 छात्रों का एक समूह 3 विषयों गणित, भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान की परीक्षा में बैठा। यह पाया गया कि सभी छात्र कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण हुए, 20 छात्र गणित में उत्तीर्ण हुए, 25 छात्र भौतिक विज्ञान में उत्तीर्ण हुए, 16 छात्र रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण हुए, अधिक से अधिक 11 छात्र गणित तथा भौतिक विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण हुए, अधिक से अधिक 15 छात्र भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण हुए, अधिक से अधिक 15 छात्र गणित तथा रसायन विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण हुए। तो तीनों विपयों में अधिक से अधिक उत्तीर्ण हुए छात्रों की संख्या है __________ |

माना अवकल समीकरण $$\left(1-x^2\right) \mathrm{d} y=\left[x y+\left(x^3+2\right) \sqrt{3\left(1-x^2\right)}\right] \mathrm{d} x,-1< x<1, y(0)=0$$, का हल $$y=y(x)$$ है। यदि $$y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$ है, $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ असहभाज्य संख्याएँ हैं, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है __________ |

$$9 \int_\limits0^9\left[\sqrt{\frac{10 x}{x+1}}\right] \mathrm{d} x$$, जहाँ $$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t}$$ है, का मान है __________ |

माना समीकरण $$x^2-70 x+\lambda=0$$, जहाँ $$\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{3} \notin \mathrm{N}$$ हैं, के मूल $$\alpha, \beta \in \mathrm{N}$$ हैं। $$\lambda$$ के न्यूनतम संभव मान के लिए, $$\frac{(\sqrt{\alpha-1}+\sqrt{\beta-1})(\lambda+35)}{|\alpha-\beta|}$$ बराबर है _________ |

$${\left\{ {{7^{\left( {{1 \over 2}} \right)}} + {{11}^{\left( {{1 \over 6}} \right)}}} \right\}^{824}}$$ के प्रसार में पूर्णांक पदों की संख्या है _________ |

माना अतिपरवलय $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ की नाभिलंब जीवा, अतिपरवलय के केन्द्र पर $$\frac{\pi}{3}$$ का कोण बनाती है। यदि $$\mathrm{b}^2=\frac{l}{\mathrm{~m}}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$$ है, जहाँ $$l$$ तथा $$\mathrm{m}$$ असहभाज्य संख्याएँ हैं, तो $$l^2+\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2$$ बराबर है _________ |

यदि रेखाओं $$x+1=2 y=-12 z, x=y+2=6 z-6$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\mathrm{d}_1$$ है तथा रेखाओं $$\frac{x-1}{2}=\frac{y+8}{-7}=\frac{z-4}{5}, \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-3}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\mathrm{d}_2$$ है, तो $$\frac{32 \sqrt{3} \mathrm{~d}_1}{\mathrm{~d}_2}$$ का मान है _________ |

माना $$\alpha=1^2+4^2+8^2+13^2+19^2+26^2+\ldots 10$$ पदों तक तथा $$\beta=\sum_\limits{n=1}^{10} n^4$$ हैं। यदि $$4 \alpha-\beta=55 k+40$$ है, तो $$k$$ बराबर है _________ |

माना $$\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots, 7\}$$ है तथा माना समुच्चय $$\mathrm{A}$$ का घात (Power) समुच्चय $$\mathrm{P}(\mathrm{A})$$ है। यदि फलनों $$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{A})$$, जिनके लिए $$\mathrm{a} \in f(\mathrm{a}), \forall \mathrm{a} \in \mathrm{A}$$ है, की संख्या $$\mathrm{m}^{\mathrm{n}}, \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ हैं तथा $$\mathrm{m}$$ न्यूनतम है, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है __________ |

यदि फलन

$$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 2 \\ a x^2+2 b, & |x|<2\end{cases}$$

$$\mathrm{R}$$ पर अवकलनीय है, तो $$48(\mathrm{a}+\mathrm{b})$$ बराबर है __________ |