प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान लेने पर, $$\tan ^{-1}(x)+\tan ^{-1}(2 x)=\frac{\pi}{4}$$ को संतुष्ट करने वाले $$x$$ के धनात्मक वास्तविक मानों की संख्या है :

माना एक त्रिभुज के शीरों $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ के स्थिति सदिश क्रमशः $$2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा $$2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$$ हैं। माना इस त्रिभुज के लंब केन्द्र से भुजाओं $$\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$$ तथा $$\mathrm{CA}$$ पर डाले गए लबों की लंबाईयाँ क्रमशः $$l_1, l_2$$ तथा $$l_3$$ हैं, तो $$l_1^2+l_2^2+l_3^2$$ बराबर है :

$$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$$ द्वारा परिभाषित फलन $$f:(0,2) \rightarrow \mathbf{R}$$ तथा $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\min l f(t)\}, & 0<\mathrm{t} \leq x \text { and } 0< x \leq 1 \\ \frac{3}{2}+x, & 1< x<2\end{array}\right.$$ द्वारा परिभाषित फलन $$g(x)$$ का विचार कीजिए। तो,

एक कलश में 6 सफेद्द तथा 9 काली गेंद हैं। बिना प्रतिस्थापना के दो बार 4 गेंद निकाली जाती हैं। पहली बार सभी सफेद गंद तथा दूसरी बार सभी काली गेंद निकलने की प्रायिकता है :

माना रेखा $$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$$ में बिंदु $$(1,0,7)$$ का प्रतिबिंब $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो निम्न में से कौन सा बिंदु, बिंदु $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ से होकर जाने वाली, $$y$$ और $$z$$-अक्षों से क्रमश: $$\frac{2 \pi}{3}$$ तथा $$\frac{3 \pi}{4}$$ का कोण बनाने वाली तथा $$x$$-अक्ष से न्यून कोण बनाने वाली रेखा पर है?

माना $$A$$ तथा $$B$$, क्रमश: $$m$$ तथा $$n$$ अवयवों के परिमित समुच्चय हैं। समुच्चय $$A$$ के उपसमुच्चयों की कुल संख्या, $$B$$ के उपसमुच्चयों की कुल संख्या से $$56$$ अधिक है। तो बिंदु $$\mathrm{P}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$$ की बिंदु $$\mathrm{Q}(-2,-3)$$ से दूरी है :

यदि समीकरण $$x^2-x-1=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं तथा $$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^{\mathrm{n}}$$, तो :

माना अतिपरवलय $$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$ की उत्क्रेन्द्रता $$\mathrm{e}_1$$ है तथा दीर्घवृत्त $$\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$$ जो अतिपरवलय की नाभियों से होकर जाता है, की उत्केन्द्रता $$\mathrm{e}_2$$ है। यदि $$\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$$ है, तो दीर्घवृत्त की $$x$$-अक्ष के समांतर तथा $$(0,2)$$ से होकर जाने वाली जीवा की लम्बाई है :

श्रेढ़ी $$20,19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}, \ldots,-129 \frac{1}{4}$$ का अन्त से $$20$$ वाँ पद है :

माना $$f: \mathbf{R}-\left\{\frac{-1}{2}\right\} \rightarrow \mathbf{R}$$ तथा $$g: \mathbf{R}-\left\{\frac{-5}{2}\right\} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{2 x+3}{2 x+1}$$ तथा $$g(x)=\frac{|x|+1}{2 x+5}$$ द्वारा परिभाषित हैं। तो फलन fog का प्राँत है :

यदि $$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$$ है, तो $$2 \alpha-\beta$$ बराबर है :

यदि अवकल समीकरण $$\left(x^2-4\right) \mathrm{d} y-\left(y^2-3 y\right) \mathrm{d} x=0, x>2, y(4)=\frac{3}{2}$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ है तथा इस वक्र की प्रवणता किसी भी $$x$$ के लिए शून्य नहीं है, तो $$y(10)$$ का मान बराबर है :

जिस $$\mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ के न्यूनतम मान के लिए अंतराल $$\left[0, \frac{\mathrm{n} \pi}{2}\right]$$ में $$2 \tan ^2 \theta-5 \sec \theta=1$$ के ठीक $$7$$ हल हैं, उस $$\mathrm{n}$$ के लिए $$\sum_\limits{k=1}^n \frac{k}{2^k}$$ बराबर है :

माना सभी $$x \in(0,3)$$ के लिए $$g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$$ तथा $$f^{\prime \prime}(x)>0$$ हैं। यदि $$(0, \alpha)$$ में $$g$$ ह्ससमान है तथा $$(\alpha, 3)$$ में वर्धमान है, तो $$8 \alpha$$ बराबर है :

माना रेखाओं $$3 x-y+1=0$$ तथा $$x+2 y-5=0$$ के अंदर का क्षेत्र, जिसमें मूलबिंदु है, $$\mathrm{R}$$ है। $$\mathrm{a}$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$\left(\mathrm{a}^2, \mathrm{a}+1\right)$$ क्षेत्र $$\mathrm{R}$$ में है, का समुच्चय है :

माना $$\alpha=\frac{(4 !) !}{(4 !)^{3 !}}$$ तथा $$\beta=\frac{(5 !) !}{(5 !)^{4 !}}$$ हैं। तो :

समाकलन $$\int \frac{\left(x^8-x^2\right) \mathrm{d} x}{\left(x^{12}+3 x^6+1\right) \tan ^{-1}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}$$ बराबर है :

$$\alpha$$ के वह मान, जिनके लिए $$\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$$ है, किस अंतराल में है ?

$$0<\mathrm{a}<1$$ के लिए, समाकलन $$\int_\limits0^\pi \frac{\mathrm{d} x}{1-2 \mathrm{a} \cos x+\mathrm{a}^2}$$ का मान है :

एक त्रिभुज के शीर्षों $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ के स्थिति सदिश क्रमश: $$2 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}, 2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$$ तथा $$-\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$$ हैं। माना कोण $$\angle \mathrm{BAC}$$ के समद्विभाजक $$\mathrm{AD}$$ की लंबाई $$l$$ है, जहाँ बिंदु $$\mathrm{D}$$, रेखाखंड $$\mathrm{BC}$$ पर है, तो $$2 l^2$$ बराबर है :

15 प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 12 तथा 13 प्राप्त किए गए। पुनः जाँच पर यह पाया गया कि एक प्रेक्षण को 12 की जगह 10 पढ़ा गया था। यदि सही प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$\mu$$ तथा $$\sigma^2$$ हैं, तो $$15\left(\mu+\mu^2+\sigma^2\right)$$ बराबर है ________ |

$$(1-x)^{2008}\left(1+x+x^2\right)^{2007}$$ के प्रसार में $$x^{2012}$$ का गुणांक बराबर है __________ |

रेखाओं $$\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16}$$ तथा $$\frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+2}{1}$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$\mathrm{P}$$ है। यदि रेखा $$\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$$ से $$\mathrm{P}$$ की दूरी $$l$$ है, तो $$14 l^2$$ बराबर है __________ |

माना $$f(x)=\int_\limits0^x g(\mathrm{t}) \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{1-\mathrm{t}}{1+\mathrm{t}}\right) \mathrm{dt}$$ है, जहाँ $$g$$ एक संतत विषम फलन है। यदि $$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(f(x)+\frac{x^2 \cos x}{1+\mathrm{e}^x}\right) \mathrm{d} x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2-\alpha$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है __________ |

यदि क्षेत्र $$\left\{(x, y): 0 \leq y \leq \min \left\{2 x, 6 x-x^2\right\}\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है, तो $$12 \mathrm{~A}$$ बराबर है __________ |

माना $$\alpha$$ के सभी वास्तविक मानों, जिनके लिए रेखाएँ $$2 x-y+3=0,6 x+3 y+1=0$$ तथा $$\alpha x+2 y-2=0$$ एक त्रिभुज नहीं बनाती हैं, के वर्गों का योग $$p$$ है, तो महत्तम पूर्णांक $$\leq p$$ है ___________ |

माना $$\mathrm{A}$$ एक $$2 \times 2$$ का वास्तविक आव्यूह है तथा $$\mathrm{I}, 2$$ कोटि का तत्समक आव्यूह है। यदि समीकरण $$|\mathrm{A}-x \mathrm{I}|=0$$ के मूल $$-1$$ तथा $$3$$ हैं, तो आव्यूह $$\mathrm{A}^2$$ के विकर्ण के अवयवों का योग है _________ |

वृत्त $$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=50$$, जहाँ $$\alpha, \beta>0$$ हैं, का विचार कीजिए। यदि यह वृत्त रेखा $$y+x=0$$ को बिंदु $$\mathrm{P}$$ पर स्पर्श करता है तथा $$\mathrm{P}$$ की मूल बिंदु से दूरी $$4 \sqrt{2}$$ है, तो $$(\alpha+\beta)^2$$ बराबर है __________ |

माना सम्मिश्र संख्याएँ $$\alpha$$ तथा $$\frac{1}{\bar{\alpha}}$$ क्रमशः वृत्तों $$\left|z-z_0\right|^2=4$$ तथा $$\left|z-z_0\right|^2=16$$ पर हैं, जहाँ $$z_0=1+i$$ है। तो $$100|\alpha|^2$$ का मान है __________ |

यदि अवकलन समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x+y-2}{x-y}$$ का हल वक्र, जो बिंदु $$(2,1)$$ से होकर जाता है, $$\tan ^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right)-\frac{1}{\beta} \log _e\left(\alpha+\left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right)=\log _e|x-1|$$ है, तो $$5 \beta+\alpha$$ बराबर है _________ |