यदि त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB, BC और CA क्रमशः 3, 5 और 6 आंतरिक बिंदुओं को धारण करती हैं, तो इन बिंदुओं को शीर्षों के रूप में प्रयोग करके बनाए जाने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या बराबर है :

एक कम्प्यूटर प्रोग्राम केवल 0 और 1 के अंकों को जनरेट करता है ताकि बाइनरी संख्याओं की एक स्ट्रिंग बने जिसमें सम स्थानों पर 0 की संभावना $$1 \over 2$$ है और विषम स्थान पर 0 की संभावना $$1 \over 3$$ है। तब '10' के बाद '01' आने की संभावना के बराबर है :

R $$ \to $$ R के रूप में परिभाषित गणितीय समारोह f(x) = e^$$-$$xsinx है। यदि F : [0, 1] $$ \to $$ R एक भिन्नीय समारोह है जिसके लिए F(x) = $$\int_0^x {f(t)dt} $$ है, तो $$\int_0^1 {(F'(x) + f(x)){e^x}dx} $$ का मान निम्न अंतराल में है

चलिए S₁, S₂ और S₃ तीन समूहों को परिभाषित करते हैं जैसे कि

S₁ = {z $$\in$$ C : |z $$-$$ 1| $$ \le $$ $$\sqrt 2 $$}

S₂ = {z$$\in$$ C : Re((1 $$-$$ i)z) $$ \ge $$ 1}

S₃ = {z$$\in$$ C : Im(z) $$ \le $$ 1}

तब समूह S₁ $$\cap$$ S₂ $$\cap$$ S₃ :

समीकरण

$$ {\sin ^{ - 1}}\left[ {{x^2} + {1 \over 3}} \right] + {\cos ^{ - 1}}\left[ {{x^2} - {2 \over 3}} \right] = {x^2}$$, $$x$$ $$\in$$[$$-$$1, 1] के लिए, और [x] का अर्थ है x से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण संख्या, के हलों की संख्या है :

यदि वक्र y = y(x) विभेदक समीकरण

$$2({x^2} + {x^{5/4}})dy - y(x + {x^{1/4}})dx = {2x^{9/4}}dx$$, x > 0 का समाधान हो जो कि बिंदु $$\left( {1,1 - {4 \over 3}{{\log }_e}2} \right)$$ से होकर जाता है, तो y(16) का मान बराबर है :

मूलभूत बिंदु O मानें। यदि $$\overrightarrow {OP} = x\widehat i + y\widehat j - \widehat k$$ और $$\overrightarrow {OQ} = - \widehat i + 2\widehat j + 3x\widehat k$$, x, y$$\in$$R, x > 0, ऐसे हैं कि $$\left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \sqrt {20} $$ और वेक्टर $$\overrightarrow {OP} $$ वेक्टर $$\overrightarrow {OQ} $$ के लम्बवत है। यदि $$\overrightarrow {OR} $$ = $$3\widehat i + z\widehat j - 7\widehat k$$, z$$\in$$R, वेक्टर $$\overrightarrow {OP} $$ और $$\overrightarrow {OQ} $$ के साथ समतल में है, तो x² + y² + z² का मान बराबर है :

यदि समाकलन

$$\int_0^{10} {{{[\sin 2\pi x]} \over {{e^{x - [x]}}}}} dx = \alpha {e^{ - 1}} + \beta {e^{ - {1 \over 2}}} + \gamma $$, जहाँ $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ पूर्णांक हैं और [x] का तात्पर्य x से कम या उसके बराबर अधिकतम पूर्णांक से है, तब $$\alpha$$ + $$\beta$$ + $$\gamma$$ का मान है:

सीमा का मान

$$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{\tan (\pi {{\cos }^2}\theta )} \over {\sin (2\pi {{\sin }^2}\theta )}}$$ बराबर है :

फलन f : R $$ \to $$ R को निम्न प्रकार से परिभाषित करें:

$$f(x) = \left\{ \matrix{ \left( {2 - \sin \left( {{1 \over x}} \right)} \right)|x|,x \ne 0 \hfill \cr 0,\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$. तब f है :

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{[r] + [2r] + ... + [nr]} \over {{n^2}}}$$ का मान, जहाँ r एक शून्य नहीं वास्तविक संख्या है और [r] का अर्थ है r से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक, बराबर है :

यदि x, y, z समान अंतराल d के साथ अंकगणितीय प्रगति में हैं, x $$\ne$$ 3d, और मैट्रिक्स $$\left[ {\matrix{ 3 & {4\sqrt 2 } & x \cr 4 & {5\sqrt 2 } & y \cr 5 & k & z \cr } } \right]$$ का निर्धारक शून्य है, तब k² का मान है :

यदि y = y(x) डिफरेंशियल समीकरण का हल हो

$$\cos x(3\sin x + \cos x + 3)dy = (1 + y\sin x(3\sin x + \cos x + 3))dx,0 \le x \le {\pi \over 2},y(0) = 0$$ का। तब, $$y\left( {{\pi \over 3}} \right)$$ बराबर है :

दें $$A = \left[ {\matrix{ a & b \cr c & d \cr } } \right]$$ और $$B = \left[ {\matrix{ \alpha \cr \beta \cr } } \right] \ne \left[ {\matrix{ 0 \cr 0 \cr } } \right]$$ इस तरह है कि AB = B और a + d = 2021, तो ad $$-$$ bc का मान बराबर है ___________।

यदि L एक स्पर्शरेखा हो जो पराबोला y² = 4x $$-$$ 20 को (6, 2) पर स्पर्श करती है। यदि L भी दीर्घवृत्त $${{{x^2}} \over 2} + {{{y^2}} \over b} = 1$$ को स्पर्श करती है, तो b का मान के बराबर है :

यदि tan$$\alpha$$, tan$$\beta$$ और tan$$\gamma$$; $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ $$\ne$$ $${{(2n - 1)\pi } \over 2}$$, n$$\in$$N क्रमशः OA, OB और OC तीन रेखा खंडों के ढलान हों, जहां O मूल स्थान है। यदि $$\Delta$$ABC का परिकेंद्र मूल स्थान के साथ मेल खाता है और इसका लंबकेंद्र y-अक्ष पर स्थित है, तो $${\left( {{{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma } \over {\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}} \right)^2}$$ का मूल्य बराबर है ____________।

माना $$\overrightarrow x $$ एक वेक्टर है जो वेक्टर्स $$\overrightarrow a = 2\widehat i - \widehat j + \widehat k$$ और $$\overrightarrow b = \widehat i + 2\widehat j - \widehat k$$ युक्त समतल में है। यदि वेक्टर $$\overrightarrow x $$ $$\left( {3\widehat i + 2\widehat j - \widehat k} \right)$$ के लंबवत है और इसका $$\overrightarrow a $$ पर प्रक्षेपण $${{17\sqrt 6 } \over 2}$$ है, तब $$|\overrightarrow x {|^2}$$ का मान __________ है।

यदि $$I_n = \ int_1^e {x^{19}{(\log |x|)}^n} dx$$, जहाँ n $$\in$$ N है। यदि (20)I₁₀ = $$\alpha$$I₉ + $$\beta$$I₈, प्राकृतिक संख्याओं $$\alpha$$ और $$\beta$$ के लिए, तो $$\alpha$$ $$-$$ $$\beta$$ के बराबर ___________ है।

यदि 1, log₁₀(4^x $$-$$ 2) और log₁₀$$\left( {{4^x} + {{18} \over 5}} \right)$$ एक वास्तविक संख्या x के लिए समांतर श्रृंखला में हैं, तो निर्धारक $$\left| {\matrix{ {2\left( {x - {1 \over 2}} \right)} & {x - 1} & {{x^2}} \cr 1 & 0 & x \cr x & 1 & 0 \cr } } \right|$$ का मूल्य के बराबर है :

3n संख्याओं के समूह पर विचार करें जिसका विचलन 4 है। इस समूह में, पहले 2n संख्याओं का माध्य 6 है और शेष n संख्याओं का माध्य 3 है। पहले 2n संख्याओं में से प्रत्येक में 1 जोड़कर और शेष n संख्याओं में से प्रत्येक से 1 घटाकर एक नया समूह बनाया जाता है। यदि नए समूह का विचलन k है, तो 9k के बराबर है __________।

f : [$$-$$1, 1] $$ \to $$ R को f(x) = ax² + bx + c के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ x$$\in$$[$$-$$1, 1], a, b, c$$\in$$R और f($$-$$1) = 2, f'($$-$$1) = 1 है तथा x$$\in$$($$-$$1, 1) के लिए f ''(x) का अधिकतम मूल्य $${{1 \over 2}}$$ है। यदि f(x) $$ \le $$ $$\alpha$$, x$$\in$$[$$-$$1, 1], तो $$\alpha$$ का कम से कम मूल्य बराबर है _________.

f : [$$-$$3, 1] $$ \to $$ R को निम्नानुसार दिया गया है :

$$f(x) = \left\{ \matrix{ \min \,\{ (x + 6),{x^2}\}, - 3 \le x \le 0 \hfill \cr \max \,\{ \sqrt x ,{x^2}\} ,\,0 \le x \le 1. \hfill \cr} \right.$$

यदि y = f(x) और x-अक्ष द्वारा बाँधे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल A है, तो 6A का मान बराबर है ___________.