प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (inverse trigonometric functions) के केवल मुख्य मानों (principal values) को ध्यान में रखते हुए,

$$ \tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-2 \cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right) $$

का मान है

माना कि $S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x \geq 0, y \geq 0, y^2 \leq 4 x, y^2 \leq 12-2 x\right.$ और $\left.3 y+\sqrt{8} x \leq 5 \sqrt{8}\right\}$ है। यदि क्षेत्र (region) $S$ का क्षेत्रफल $\alpha \sqrt{2}$ है, तब $\alpha$ बराबर है

माना कि $k \in \mathbb{R}$ है। यदि $\lim \limits_{x \rightarrow 0+}(\sin (\sin k x)+\cos x+x)^{\frac{2}{x}}=e^6$, तब $k$ का मान है

माना कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन (function) है, जो

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right), & \text { यदि } x \neq 0, \\ 0, & \text { यदि } x=0, \end{array}\right. $$

द्वारा परिभाषित है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सत्य है?

माना कि $S$ उन सभी $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ का समुच्चय है कि

$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin \left(x^2\right)\left(\log _e x\right)^\alpha \sin \left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^{\alpha \beta}\left(\log _e(1+x)\right)^\beta}=0 $$

है। तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) सही है (हैं)?

बिंदु $P(1,3,2)$ से, रेखा $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ के समान्तर खींची गयी सरल रेखा (straight line), तल (plane) $L_1: x-y+3 z=6$ को बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। एक अन्य सरल रेखा जो बिंदु $Q$ से होकर जाती है और तल (plane) $L_1$ के लंबवत (perpendicular) है, तल (plane) $L_2: 2 x-y+z=-4$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेदित करती है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

माना कि $A_1, B_1, C_1, x y$-तल ( $x y$-plane) में स्थित तीन बिंदु हैं। मान लीजिये कि रेखाएं $A_1 C_1$ और $B_1 C_1$, वक्र (curve) $y^2=8 x$ के लिए क्रमश: $A_1$ और $B_1$ पर स्पर्श रेखाएं (tangents) हैं। यदि $O=(0,0)$ और $C_1=(-4,0)$, तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

माना कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक ऐसा फलन (function) है कि सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ है, और $g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ एक ऐसा फलन है कि सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x+y)=g(x) g(y)$ है। यदि $f\left(\frac{-3}{5}\right)=12$ और $g\left(\frac{-1}{3}\right)=2$ हैं, तब $\left(f\left(\frac{1}{4}\right)+g(-2)-8\right) g(0)$ का मान __________ है।

एक थैले (bag) में $N$ गेंदें (balls) हैं, जिनमें से 3 गेंदें सफेद हैं, 6 गेंदें हरी हैं, और शेष गेंदें नीली हैं। मान लीजिये कि इसके अलावा, गेंदें एकरूप (identical) हैं। थैले में से तीन गेंदें याहच्छया (randomly) एक के बाद एक, बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के निकाली जाती हैं। मान लीजिये कि $i=1,2,3$, के लिए, $W_i, G_i$, और $B_i$, $i$ वें निकाल ( $i^{\text {h }}$ draw) में क्रमश: सफेद, हरी और नीली गेंदों के आने की घटनाओं को दर्शाते हैं। यदि प्रायिकता (probability) $P\left(W_1 \cap G_2 \cap B_3\right)=\frac{2}{5 N}$ है और सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) $P\left(B_3 \mid W_1 \cap G_2\right)=\frac{2}{9}$ है, तब $N$ बराबर ________ है।

माना कि फलन (function) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

$$ f(x)=\frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{\left(x^{2023}+2024 x+2025\right)}{\left(x^2-x+3\right)}+\frac{2}{e^{\pi x}} \frac{\left(x^{2023}+2024 x+2025\right)}{\left(x^2-x+3\right)} $$

द्वारा परिभाषित है। तब $\mathbb{R}$ में, $f(x)=0$ के हलों (solutions) की संख्या ________ है।

माना कि $\vec{p}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{q}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि कुछ वास्तविक संख्याओं (real numbers) $\alpha, \beta$, और $\gamma$ के लिए,

$$ 15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} \times \vec{q}) $$

है, तब $\gamma$ का मान __________ है।

बिंदु $(0,-\alpha)$ से परवलय (parabola) $x^2=-4 a y$, जहां $a>0$ है, के लिए $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ढाल (slope) का एक अभिलंब (normal) खींचा गया है। माना कि $L$, परवलय की नियता (directrix ) के समान्तर, $(0,-\alpha)$ से होकर जाने वाली रेखा है। मान लीजिये कि $L$, परवलय को दो बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। माना कि $r$, परवलय की नाभिलंब जीवा (latus rectum) की लंबाई को दर्शाता है और $s$, रेखाखंड (line segment) $A B$ की लंबाई के वर्ग को दर्शाता है। यदि $r: s=1: 16$ है, तब $24 a$ का मान ______ है।

माना कि फलन $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{cl} (-1)^{n+1} 2, & \text { यदि } t=2 n-1, n \in \mathbb{N}, \\ \frac{(2 n+1-t)}{2} f(2 n-1)+\frac{(t-(2 n-1))}{2} f(2 n+1), & \text { यदि } 2 \mathrm{n}-1<\mathrm{t}<2 \mathrm{n}+1, n \in \mathbb{N}, \end{array}\right. $$

द्वारा परिभाषित है। $g(x)=\int\limits_1^x f(t) d t, x \in(1, \infty)$ से परिभाषित कीजिये। माना कि $\alpha$, अंतराल $(1,8]$ में समीकरण $g(x)=0$ के हलों (solutions) की संख्या को दर्शाता है और $\beta=\lim \limits_{x \rightarrow 1+} \frac{g(x)}{x-1}$ है। तब $\alpha+\beta$ का मान ______ है।

यदि $n(X)={ }^m C_6$ है, तब $m$ का मान ________ है।

यदि $n(Y)+n(Z)$ का मान $k^2$ है, तब $|k|$ ________ है।

$2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) d x-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) d x$ का मान _______ है।

$\frac{16}{\pi^3} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) d x$ का मान ______ है।