माना कि $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय (differentiable) फलन इस प्रकार है कि $f(1)=\frac{1}{3}$ है एवं $x \in[1, \infty)$ के लिए $3 \int_1^x f(t) d t=x f(x)-\frac{x^3}{3}$ है। माना कि $e$ प्राकृतिक लघुगणक के आधार (base of the natural logarithm) को निरूपित करता है। तब $f(e)$ का मान है

एक परीक्षण (experiment) पर विचार कीजिए जिसमें एक सिक्के को बार बार लगातार उछाला जाता है और जैसे ही दो क्रमागत (consecutive) उछालों का परिणाम (outcome) समान आता है, परीक्षण रोक दिया जाता है। यदि एक याद्छिक उछाल का परिणाम चित्त में (random toss resulting in head) होने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है, तब परीक्षण के चित्त (head) के साथ रुकने कि प्रायिकता है

किसी $y \in \mathbb{R}$ के लिए माना कि $\cot ^{-1}(y) \in(0, \pi)$ एवं $\tan ^{-1}(y) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$, जहाँ $0<|y|<3$ है, के सभी हलों का योगफल है

माना कि बिन्दुओं $P, Q, R$ एवं $S$ के स्थिति सदिश (position vectors) क्रमशः $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}$, $\vec{b}=3 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{c}=\frac{17}{5} \hat{i}+\frac{16}{5} \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{d}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। तब निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

माना कि $3 \times 3$ आव्यूह $M=\left(a_{i j}\right), i, j \in\{1,2,3\}$, इस प्रकार है कि $a_{i j}=1$ यदि $i$ से $j+1$ विभाज्य (divisible) है, अन्यथा $a_{i j}=0$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

माना कि फलन $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(x)=[4 x]\left(x-\frac{1}{4}\right)^2\left(x-\frac{1}{2}\right)$, जहाँ $[x]$, $x$ से कम या $x$ के बराबर महत्तम पूर्णांक (greatest integer) को निरूपित करता है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

माना कि_ $S$ उन दो बार अवकलनीय (twice differentiable) फलनों $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ का समुच्चय है जो इस प्रकार हैं कि सभी $x \in(-1,1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{d x^2}(x)>0$ है। फलन $f \in S$ के लिए, माना कि $X_f$ उन बिन्दुओं $x \in(-1,1)$ कि संख्या है जिनके लिए $f(x)=x$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

माना कि $x \in \mathbb{R}$ के लिए, $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, जो $f(x)=\int_0^\limits{x \tan ^{-1} x} \frac{e^{(t-\cos t)}}{1+t^{2023}} d t$ से परिभाषित है, का न्यूनतम मान (minimum value) है

माना कि $y(x), x \in \mathbb{R}$, निम्नलिखित अवकल समीकरण (differential equation) $\left(x^2-5\right) \frac{d y}{d x}-2 x y=-2 x\left(x^2-5\right)^2$ का एक ऐसा हल है जिसके लिए $y(2)=7$ है। तब फलन $y(x)$ का महत्तम मान (maximum value) है

माना कि $X$ उन सभी पांच अंकों वाली संख्याओं का समुच्चय है जो $1,2,2,2,4,4,0$ का प्रयोग कर के बनाई गई हैं। उदाहरण के लिए, 22240 समुच्चय $X$ में है जबकि 02244 और 44422 समुच्चय $X$ में नहीं हैं। माना कि $X$ के प्रत्येक अवयव (element) के चुने जाने का एक समान अवसर है। माना कि $p$, एक याद्छिक चुना गया अवयव (randomly chosen element) के 20 का गुणांक होने की सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) है, यदि यह ज्ञात है की वह 5 का गुणांक है। तब $38 p$ का मान है

माना कि $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_8$ एक सम अष्टभुज (regular octagon) के शीर्ष (vertices) हैं जो एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 2 है, पर स्थित हैं। माना कि $P$ वृत्त पर एक बिंदु है और बिन्दुओं $P$ एवं $A_i$ के बीच की दूरी $P A_i, i=1,2, \ldots, 8$, है । यदि $P$ वृत्त के ऊपर विचरित (varies) करता है, तब गुणनफल $P A_1 \cdot P A_2 \cdots P A_8$ का उच्चतम मान (maximum value) है

माना कि $R=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & 3 & b \\ c & 2 & d \\ 0 & 5 & 0\end{array}\right): a, b, c, d \in\{0,3,5,7,11,13,17,19\}\right\}$ है। तब $R$ में व्युक्क्रमणीय (invertible) आव्यूहों की संख्या है

माना कि $C_1$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 और केंद्र मूल बिंदु है। माना कि $C_2$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $r$, जहाँ $1 < r < 3$ है, और केंद्र बिंदु $A=(4,1)$ है। $C_1$ एवं $C_2$ की दो भिन्न उभयनिष्ट स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) $P Q$ एवं $S T$ खींची जाती हैं। स्पर्श रेखा $P Q$, वृत्त $C_1$ को $P$ पर और वृत्त $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $S T$, वृत्त $C_1$ को $S$ पर और वृत्त $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखा खंडों $P Q$ एवं $S T$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर एक रेखा बनाई जाती है जो $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है | यदि $A B=\sqrt{5}$, तब $r^2$ का मान है

माना कि त्रिभुज $A B C$ का क्षेत्रफल $a$ है। तब $(64 a)^2$ का मान है

तब त्रिभुज $A B C$ की अंत:त्रिज्या (inradius) है

माना कि याद्छिक रूप से चुने गए एक बिंदु (a randomly chosen point) के $i$ मित्र होने कि प्रायिकता $p_i$ है जहाँ $i=0,1,2,3,4$ है। माना कि $X$ एक ऐसा याद्छिक चर (random variable) है जिसके लिए प्रायिकता $P(X=i)=p_i, i=0,1,2,3,4$, है। तब $7 E(X)$ का मान है

बिन्दुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो भिन्न बिंदु याहच्छिक रूप से (randomly) चुने जाते हैं। माना कि उनके मित्र होने कि प्रायिकता $p$ है। तब $7 p$ का मान है