माना कि $S=(0,1) \cup(1,2) \cup(3,4)$ एवं $T=\{0,1,2,3\}$ है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?

माना कि $T_1$ एवं $T_2$ दीर्घवृत (ellipse) $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ एवं परवलय (parabola) $P: y^2=12 x$ की दो भिन्न उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) हैं। माना कि स्पर्श रेखा $T_1, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_1$ एवं $A_2$ पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_4$ एवं $A_3$ पर स्पर्श करती है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?

माना कि फलन $f:[0,1] \rightarrow[0,1], f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{5}{9} x+\frac{17}{36}$ से परिभाषित है । वर्गाकार क्षेत्र (square region) $S=[0,1] \times[0,1]$ पर विचार कीजिए। माना कि $G=\{(x, y) \in S: y>f(x)\}$ हरित क्षेत्र (green region) एवं $R=\{(x, y) \in S: y

माना कि फलन $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ इस तरह से परिभाषित है कि $f(x)=\sqrt{n}$ यदि $x \in\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है। माना कि फलन $g:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि सभी $x \in(0,1)$ के लिए $\int\limits_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} d t < g(x) < 2 \sqrt{x}$ है $\mid$ तब $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) g(x)$

माना कि $Q$ वह घन (cube) है जिसके शीर्ष बिन्दुओं (vertices) का समुच्चय $\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in\{0,1\}\right\}$ है। माना कि $F$ उन सभी बारह रेखाओं का समुच्चय है जो कि घन $Q$ के छः फलकों (faces) पर बने विकर्णों (diagonals) को अंतर्विष्ट करती हैं। माना कि $S$ उन सभी चार रेखाओं का समुच्चय है जो कि घन $Q$ के मुख्य विकर्णों (main diagonals) को अंतर्विष्ट करती हैं ; उदाहरण के लिए शीर्षों $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ से गुजरने वाली रेखा $S$ में है। माना कि रेखाओं $\ell_1$ एवं $\ell_2$ के लिए, $d\left(\ell_1, \ell_2\right)$ उनके बीच कि न्यूनतम दूरी (shortest distance) को निरूपित करता है। तब $d\left(\ell_1, \ell_2\right)$ का अधिकतम मान, जब $\ell_1, F$ पर विचरित (varies) होता है एवं $\ell_2, S$ पर विचरित होता है, है

माना कि $X=\left\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{20}<1\right.$ एवं $\left.y^2<5 x\right\}$ है $\mid$ समुच्चय $X$ में से तीन भिन्न बिंदु $P, Q$ एवं $R$ याहच्छिक रूप से (randomly) चुने जाते हैं। तब $P, Q$ एवं $R$ एक ऐसा त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल एक धनात्मक पूर्णांक (positive integer) है, की प्रायिकता है

माना कि परवलय (parabola) $y^2=4 a x$, जहाँ $a>0$ है, पर $P$ एक बिंदु है। बिंदु $P$ पर परवलय का अभिलम्ब (normal) $x$-अक्ष से बिंदु $Q$ पर मिलता है। त्रिभुज $P F Q$, जहाँ $F$ इस परवलय कि नाभि (focus) है, का क्षेत्रफल 120 है। यदि अभिलम्ब की ढाल (slope) $m$ एवं $a$ दोनो धनात्मक पूर्णांक (positive integer) हैं, तब युग्म (pair) $(a, m)$ है

माना कि $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब समुच्चय $\left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में समीकरण $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$ के वास्तविक हलों की संख्या है

माना कि $n \geq 2$ एक प्राकृत संख्या (natural number) है एवं फलन $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित है

$$ f(x)= \begin{cases}n(1-2 n x) & \text { if } 0 \leq x \leq \frac{1}{2 n} \\\\ 2 n(2 n x-1) & \text { if } \frac{1}{2 n} \leq x \leq \frac{3}{4 n} \\\\ 4 n(1-n x) & \text { if } \frac{3}{4 n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\\\ \frac{n}{n-1}(n x-1) & \text { if } \frac{1}{n} \leq x \leq 1\end{cases} $$

यदि $n$ इस प्रकार है कि वक्रों $x=0, x=1, y=0$ एवं $y=f(x)$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 4 है तब फलन $f$ का महत्तम मान (maximum value) है

माना कि $7 \overbrace{5 \cdots 5}^r 7$ वह $(r+2)$ अंको वाली संख्या है जिसका पहला एवं अंतिम अंक 7 है तथा बाकी के $r$ अंक 5 हैं। योगफल $S=77+757+7557+\cdots+7 \overbrace{5 \cdots 5}^{98}7$ पर विचार कीजिए। यदि $S=\frac{7\overbrace{5 \cdots 5}^{99} 7+m}{n}$, जहाँ $m$ एवं $n, 3000$ से छोटी प्राकृत संख्याएं (natural numbers) हैं, तब $m+n$ का मान है

माना कि $A=\left\{\frac{1967+1686 i \sin \theta}{7-3 i \cos \theta}: \theta \in \mathbb{R}\right\}$ है | यदि $A$ में केवल एक धनात्मक पूर्णांक (positive integer) $n$ है, तब $n$ का मान है

माना कि $P$ समतल (plane) $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है, एवं माना कि $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\right.$ एवं $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $P$ से दूरी $\frac{7}{2}$ है $\}$ है। माना कि $S$ में तीन भिन्न सदिश (distinct vectors) $\vec{u}, \vec{v}$ एवं $\vec{w}$ इस प्रकार हैं कि $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\vec{u}|$ है $\mid$ माना कि $V$, उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है जिसकी भुजाएं (sides) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}$ एवं $\vec{w}$ द्वारा निरुपित है। तब $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान है

माना कि $a$ एवं $b$ दो शून्येतर (nonzero) वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। यदि $\left(a x^2+\frac{70}{27 b x}\right)^4$ के प्रसार (expansion) में $x^5$ का गुणांक (coefficient), $\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^7$ के प्रसार में $x^{-5}$ के गुणांक के बराबर है, तब $2 b$ का मान है

माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।

$$ \begin{aligned} & x+2 y+z=7 \\\\ & x+\alpha z=11 \\\\ & 2 x-3 y+\beta z=\gamma \end{aligned} $$

List-। की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-II की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।

List - I	List - II
(P) यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के)	(1) एक अद्वितीय हल (unique solution) है
(Q) यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)	(2) कोई हल नहीं है
(R) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)	(3) अनंत हल हैं
(S) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के)	(4) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है
	(5) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है

सही विकल्प है:

दिए गए निम्न आँकड़ों पर बारंबारता बंटन के साथ (data with frequency distribution) विचार करें।

$$ \begin{array}{ccccccc} x_i & 3 & 8 & 11 & 10 & 5 & 4 \\ f_i & 5 & 2 & 3 & 2 & 4 & 4 \end{array} $$

List-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-II की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।

List-I	List-II
(P) उपरोक्त आँकड़ों का माध्य (mean) है	(1) 2.5
(Q) उपरोक्त आँकड़ों की माध्यिका (median) है	(2) 5
(R) उपरोक्त आँकड़ों का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (mean deviation about the mean) है	(3) 6
(S) उपरोक्त आँकड़ों का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (mean deviation about the median) है	(4) 2.7
	(5) 2.4

सही विकल्प है:

माना कि $\ell_1$ एवं $\ell_2$ क्रमशः $\vec{r}_1=\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ एवं $\vec{r}_2=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{k})$ रेखाएं हैं। माना कि $X$ उन सभी समतलों (planes) $H$ का समुच्चय है जो रेखा $\ell_1$ को अंतर्विष्ट (contain) करते हैं। समतल $H$ के लिए माना कि $d(H)$, रेखा $\ell_2$ के बिन्दुओं और $H$ के बीच की न्यूनतम संभव (smallest possible) दूरी है। मान लीजिये कि $d(H)$ का महत्तम संभव मान (maximum possible value), जब $H$ समुच्चय $X$ के सभी समतलों पर विचरण (vary) करता है, $d\left(H_0\right)$ है, जहाँ समतल $H_0$ समुच्चय $X$ में है।

List-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-II की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।.

List-I	List-II
(P) $ d(H_0) $ का मान है	(1) $ \sqrt{3} $
(Q) बिंदु (0,1,2) की $ H_0 $ में दूरी है	(2) $ \frac{1}{\sqrt{3}} $
(R) मूल बिंदु की $ H_0 $ में दूरी है	(3) 0
(S) मूल बिंदु की समतल $ y = z $, $ x = 1 $ गुजरती $ H_0 $ के प्रतिच्छेदन से दूरी है	(4) $ \sqrt{2} $
	(5) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $

सही विकल्प है:

माना कि $|z|^3+2 z^2+4 \bar{z}-8=0$ को संतुष्ट करने वाली एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ है, जहाँ $\bar{z}$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी (conjugate) है। माना कि $z$ का काल्पनिक भाग (imaginary part) अशून्य (nonzero) है।

List-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-II की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।

List-I	List-II
(P) $|z|^2$	(1) 12 के बराबर है
(Q) $|z - \bar{z}|^2$	(2) 4 के बराबर है
(R) $ |z|^2 + |z + \bar{z}|^2$	(3) 8 के बराबर है
(S) $|z + 1|^2$	(4) 10 के बराबर है
	(5) 7 के बराबर है

सही विकल्प है: