एक ऐसे त्रिभुज $$\Delta$$ पर विचार कीजिए जिसकी दो भुजाएँ $$x$$-अक्ष तथा रेखा $$x+y+1=0$$ पर स्थित हैं। यदि $$\Delta$$ का लम्ब केन्द्र (orthocenter) $$(1,1)$$ है, तब त्रिभुज $$\Delta$$ के शीर्षों (vertices) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण है

क्षेत्र $$\left\{(x, y): 0 \leq x \leq \frac{9}{4}, 0 \leq y \leq 1, x \geq 3 y, x+y \geq 2\right\}$$ का क्षेत्रफल है

तीन समुच्चयों (sets) $$E_{1}=\{1,2,3\}, F_{1}=\{1,3,4\}$$ और $$G_{1}=\{2,3,4,5\}$$ पर विचार कीजिए । समुच्चय $$E_{1}$$ से दो अवयवों (elements) को बिना प्रतिस्थापित किए (without replacement) याहच्छया (randomly) चुना जाता है, और मान लीजिए कि $$S_{1}$$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरुपित करता है | मान लीजिए कि $$E_{2}=E_{1}-S_{1}$$ और $$F_{2}=F_{1} \cup S_{1}$$ हैं। अब समुच्चय $$F_{2}$$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए याहच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $$S_{2}$$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरुपित करता है।

मान लीजिए कि $$G_{2}=G_{1} \cup S_{2}$$ है | अंततः समुच्चय $$G_{2}$$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए याहच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $$S_{3}$$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरुपित करता है | मान लीजिए कि $$E_{3}=E_{2} \cup S_{3}$$ है | घटना $$E_{1}=E_{3}$$ के ज्ञात होने पर, मान लीजिए कि $$p$$, घटना $$S_{1}=\{1,2\}$$ की सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) को निरुपित करता है | तब $$p$$ का मान है

मान लीजिए कि $$\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{10}$$ धनात्मक (positive) मानों वाले ऐसे कोण (रेडियन मे) हैं कि $$\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{10}=2 \pi$$ है। सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) $$z_{1}=e^{i \theta_{1}}, z_{k}=z_{k-1} e^{i \theta_{k}}, k=2,3, \ldots, 10$$ को परिभाषित कीजिए, जहां $$i=\sqrt{-1}$$ है। नीचे दिए गए कथनों $$P$$ और $$Q$$ पर विचार कीजिए :

$$ \begin{gathered} P:\left|z_{2}-z_{1}\right|+\left|z_{3}-z_{2}\right|+\cdots+\left|z_{10}-z_{9}\right|+\left|z_{1}-z_{10}\right| \leq 2 \pi \\ Q:\left|z_{2}^{2}-z_{1}^{2}\right|+\left|z_{3}^{2}-z_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|z_{10}^{2}-z_{9}^{2}\right|+\left|z_{1}^{2}-z_{10}^{2}\right| \leq 4 \pi \end{gathered} $$

तब

तीन संख्याओं को समुच्चय $$S=\{1,2,3, \ldots, 100\}$$ से, एक-एक करके, प्रतिस्थापन के साथ (with replacement), याहच्छया (randomly) चुना जाता है । मान लीजिए कि चुनी गयी संख्याओं में से अधिकतम संख्या के कम से कम 81 होने की प्रायिकता $$p_{1}$$ है और चुनी गयी संख्याओं में से न्यूनतम संख्या के अधिक से अधिक 40 होने की प्रायिकता $$p_{2}$$ है।

$$\frac{625}{4} p_{1}$$ का मान __________ है।

तीन संख्याओं को समुच्चय $$S=\{1,2,3, \ldots, 100\}$$ से, एक-एक करके, प्रतिस्थापन के साथ (with replacement), याहच्छया (randomly) चुना जाता है । मान लीजिए कि चुनी गयी संख्याओं में से अधिकतम संख्या के कम से कम 81 होने की प्रायिकता $$p_{1}$$ है और चुनी गयी संख्याओं में से न्यूनतम संख्या के अधिक से अधिक 40 होने की प्रायिकता $$p_{2}$$ है।

$$\frac{125}{4} p_{2}$$ का मान __________ है।

मान लीजिए कि $$\alpha, \beta$$ और $$\gamma$$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए रैखिक समीकरणों

$$ \begin{gathered} x+2 y+3 z=\alpha \\ 4 x+5 y+6 z=\beta \\ 7 x+8 y+9 z=\gamma-1 \end{gathered} $$

का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है | मान लीजिए कि $$|M|$$ आव्यूह (matrix)

$$ M=\left[\begin{array}{ccc} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

का सारणिक (determinant) है।

मान लीजिए कि $$P$$ उन सभी $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है जिनके लिए ऊपर दिये गये रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $$D$$, बिंदु $$(0,1,0)$$ की समतल $$P$$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।

$$|M|$$ का मान _________है।

मान लीजिए कि $$\alpha, \beta$$ और $$\gamma$$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए रैखिक समीकरणों

$$ \begin{gathered} x+2 y+3 z=\alpha \\ 4 x+5 y+6 z=\beta \\ 7 x+8 y+9 z=\gamma-1 \end{gathered} $$

का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है | मान लीजिए कि $$|M|$$ आव्यूह (matrix)

$$ M=\left[\begin{array}{ccc} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

का सारणिक (determinant) है।

मान लीजिए कि $$P$$ उन सभी $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है जिनके लिए ऊपर दिये गये रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $$D$$, बिंदु $$(0,1,0)$$ की समतल $$P$$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।

$$D$$ का मान _________है।

$$L_{1}$$ और $$L_{2}$$ द्वारा परिभाषित रेखाओं

$$L_{1}: x \sqrt{2}+y-1=0$$ और $$L_{2}: x \sqrt{2}-y+1=0$$

पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $$\lambda$$ के लिए, मान लीजिए कि $$C$$ एक बिंदु $$P$$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $$P$$ से $$L_{1}$$ की दूरी और $$P$$ से $$L_{2}$$ की दूरी का गुणनफल $$\lambda^{2}$$ है । रेखा $$y=2 x+1, C$$ को दो बिंदुओं $$R$$ और $$S$$ पर मिलती है, जहां $$R$$ और $$S$$ के बीच की दूरी $$\sqrt{270}$$ है ।

मान लीजिए कि $$R S$$ का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $$C$$ को दो भिन्न बिंदुओं $$R'$$ और $$S'$$ पर मिलता है | मान लीजिए कि $$R'$$ और $$S'$$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $$D$$ है।

$$\lambda^{2}$$ का मान __________ है।

$$L_{1}$$ और $$L_{2}$$ द्वारा परिभाषित रेखाओं

$$L_{1}: x \sqrt{2}+y-1=0$$ और $$L_{2}: x \sqrt{2}-y+1=0$$

पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $$\lambda$$ के लिए, मान लीजिए कि $$C$$ एक बिंदु $$P$$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $$P$$ से $$L_{1}$$ की दूरी और $$P$$ से $$L_{2}$$ की दूरी का गुणनफल $$\lambda^{2}$$ है । रेखा $$y=2 x+1, C$$ को दो बिंदुओं $$R$$ और $$S$$ पर मिलती है, जहां $$R$$ और $$S$$ के बीच की दूरी $$\sqrt{270}$$ है ।

मान लीजिए कि $$R S$$ का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $$C$$ को दो भिन्न बिंदुओं $$R'$$ और $$S'$$ पर मिलता है | मान लीजिए कि $$R'$$ और $$S'$$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $$D$$ है।

$$D$$ का मान __________ है।

किसी भी $$3 \times 3$$ आव्यूह (matrix) $$M$$ के लिए, मान लीजिए कि $$|M|, M$$ का सारणिक (determinant) को निरुपित करता है | मान लीजिए कि

$$E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{array}\right], P=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \text { और } F=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{array}\right]$$

यदि $$Q$$ एक $$3 \times 3$$ कोटि का व्युत्क्रमणीय आव्यूह (nonsingular matrix) है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f(x)=\frac{x^{2}-3 x-6}{x^{2}+2 x+4}$$

द्वारा परिभाषित है | तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

मान लीजिए कि तीन घटनाओं $$E, F$$ और $$G$$ की प्रायिकताएँ (probabilities) $$P(E)=\frac{1}{8}, P(F)=\frac{1}{6}$$ और $$P(G)=\frac{1}{4}$$, और मान लीजिए कि $$P(E \cap F \cap G)=\frac{1}{10}$$ हैं। किसी भी घटना $$H$$ के लिए, यदि $$H^{c}$$ इसकी पूरक (complement) घटना को निरुपित करता है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

किसी भी $$3 \times 3$$ आव्यूह (matrix) $$M$$ के लिए, मान लीजिए कि $$M$$ का सारणिक (determinant) $$|M|$$ द्वारा निरुपित है । मान लीजिए कि $$I, 3 \times 3$$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। मान लीजिए कि $$E$$ और $$F, 3 \times 3$$ कोटि के दो ऐसे आव्यूह हैं कि $$(I-E F)$$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है। यदि $$G=(I-E F)^{-1}$$, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

किसी भी धन पूर्णांक (positive integer) $$n$$ के लिए, मान लीजिए कि $$S_{n}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$,

$$S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \cot ^{-1}\left(\frac{1+k(k+1) x^{2}}{x}\right)$$

द्वारा परिभाषित है, जहां किसी भी $$x \in \mathbb{R}$$ के लिए, $$\cot ^{-1}(x) \in(0, \pi)$$ और $$\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

किसी भी सम्मिश्र संख्या $$w=c+i d$$ के लिए, मान लीजिए कि $$\arg (\mathrm{w}) \in(-\pi, \pi]$$, जहां $$i=\sqrt{-1}$$ है | मान लीजिए कि $$\alpha$$ और $$\beta$$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$$ को संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $$z=x+i y$$ के लिए, क्रमित युग्म $$(x, y)$$ वृत्त

$$x^{2}+y^{2}+5 x-3 y+4=0$$

पर स्थित है | तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$$x \in \mathbb{R}$$ के लिए, समीकरण $$3 x^{2}-4\left|x^{2}-1\right|+x-1=0$$ के वास्तविक मूलों (real roots) की संख्या _________ है।

एक त्रिभुज $$A B C$$ मे, मान लीजिए कि $$A B=\sqrt{23}, B C=3$$ और $$C A=4$$ हैं। तब $$\frac{\cot A+\cot C}{\cot B} $$ का मान _________ है।

मान लीजिए कि $$\vec{u}, \vec{v}$$ और $$\vec{w}$$ त्रिविमीय अंतरिक्ष (three-dimensional space) में सदिशें (vectors) हैं, जहां $$\vec{u}$$ और $$\vec{v}$$ ऐसे मात्रक सदिशें (unit vectors) हैं जो एक दुसरे पर लम्बवत (perpendicular) नहीं हैं तथा

$$\vec{u} \cdot \vec{w}=1, \quad \vec{v} \cdot \vec{w}=1, \quad \vec{w} \cdot \vec{w}=4$$

यदि समांतर षट्फलक (parallelopiped), जिसकी संलग्न भुजाएं सदिशों $$\vec{u}, \vec{v}$$ तथा $$\vec{w}$$ द्वारा निरुपित हैं, का आयतन (volume) $$\sqrt{2}$$ है, तब $$|3 \vec{u}+5 \vec{v}|$$ का मान __________ है।