मान लीजिए कि $$\vec{u}, \vec{v}$$ और $$\vec{w}$$ त्रिविमीय अंतरिक्ष (three-dimensional space) में सदिशें (vectors) हैं, जहां $$\vec{u}$$ और $$\vec{v}$$ ऐसे मात्रक सदिशें (unit vectors) हैं जो एक दुसरे पर लम्बवत (perpendicular) नहीं हैं तथा

$$\vec{u} \cdot \vec{w}=1, \quad \vec{v} \cdot \vec{w}=1, \quad \vec{w} \cdot \vec{w}=4$$

यदि समांतर षट्फलक (parallelopiped), जिसकी संलग्न भुजाएं सदिशों $$\vec{u}, \vec{v}$$ तथा $$\vec{w}$$ द्वारा निरुपित हैं, का आयतन (volume) $$\sqrt{2}$$ है, तब $$|3 \vec{u}+5 \vec{v}|$$ का मान __________ है।