माना कि सम्मिश्र संख्या (complex number) $$z$$ के वास्तविक भाग (real part) को $$\operatorname{Re}(z)$$ से दर्शाते हैं। माना कि $$S$$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं $$z$$ का समुच्चय (set) है जो कि $$\mathrm{z}^{4}-|\mathrm{z}|^{4}=4 i \mathrm{z}^{2}$$ को संतुष्ट करती हैं, जहाँ $$i=\sqrt{-1}$$ है । तब $$\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}$$ का न्यूनतम संभावित मान (minimum possible value), जहाँ $$z_{1}, z_{2} \in S$$ तथा $$\operatorname{Re}\left(z_{1}\right) > 0$$ एवं $$\operatorname{Re}\left(z_{2}\right) < 0$$ हैं, है ___________

एक लक्ष्य (target) को मिसाइल (missile) द्वारा सफलतापूर्वक भेदने की प्रायिकता (probability) 0.75 है। इस लक्ष्य को पूरी तरह नष्ट करने के लिये कम से कम तीन सफल भेदन (three successful hits) जरुरी हैं। तब मिसाइलों की न्यूनतम (minimum) संख्या जिनके दागने से लक्ष्य के पूरी तरह नष्ट होने की प्रायिकता 0.95 से कम नहीं हो, है __________

माना कि वृत्त (circle) $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$ का केंद्र (centre) $$O$$ है, जहाँ $$r > \frac{\sqrt{5}}{2}$$ है। मान लीजिये कि $$P Q$$ इस वृत्त की एक जीवा (chord) है तथा $$P$$ और $$Q$$ से जाने वाली रेखा (line) का समीकरण (equation) $$2 x+4 y=5$$ है | यदि त्रिभुज (triangle) $$O P Q$$ के परिवृत्त (circumcircle) का केंद्र रेखा $$x+2 y=4$$ पर स्थित है, तब $$r$$ का मान है _________

एक वर्ग आव्यूह (square matrix) के अनुरेख (trace) को उसके विकर्ण की प्रविष्टियों (diagonal entries) के योगफल (sum) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यदि $$A$$ एक ऐसा $$2 \times 2$$ आव्यूह है जिसका अनुरेख $$3$$ है एवं $$A^{3}$$ का अनुरेख $$-18$$ है, तब $$A$$ के सारणिक (determinant) का मान है _________

माना कि फलनों (functions) $$f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$$ एवं $$g:(-1,1) \rightarrow(-1,1)$$ को

$$f(x)=|2 x-1|+|2 x+1|$$ एवं $$g(x)=x-[x]$$

से परिभाषित किया जाता है, जहाँ $$[x]$$ उस महत्तम पूर्णांक (greatest integer) को दर्शाता है जो $$x$$ से कम या $$x$$ के बराबर है। माना कि $$f \circ g:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$$ संयुक्त फलन (composite function) है जो कि $$(f \circ g)(x)=f(g(x))$$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिये कि $$c$$, अंतराल $$(-1,1)$$ में उन बिन्दुओं की संख्या है, जिन पर $$f \circ g$$ संतत (continuous) नहीं है, एवं $$d$$, अंतराल $$(-1,1)$$ में उन बिन्दुओं की संख्या है, जिन पर $$f \circ g$$ अवकलनीय (differentiable) नहीं है । तब $$c+d$$ का मान है __________

सीमा (limit)

$$\lim_\limits{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{4 \sqrt{2}(\sin 3 x+\sin x)}{\left(2 \sin 2 x \sin \frac{3 x}{2}+\cos \frac{5 x}{2}\right)-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos 2 x+\cos \frac{3 x}{2}\right)}$$

का मान है ___________

माना कि $$b$$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या (nonzero real number) है। मान लिजिये कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक ऐसा अवकलनीय फलन (differentiable function) है जिसके लिये $$f(0)=1$$ है। यदि $$f$$ का अवकलज (derivative) $$f'$$ समीकरण

$$f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{b^{2}+x^{2}}$$

को सभी $$x \in \mathbb{R}$$ के लिये संतुष्ट करता है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$a$$ एवं $$b$$ इस प्रकार की धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (positive real numbers) हैं जिनके लिये $$a > 1$$ और $$b < a$$ हैं | माना कि प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) का एक बिन्दु $$P$$ अतिपरवलय (hyperbola) $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ पर स्थित है । मान लीजिये कि बिन्दु $$P$$ पर डाली गयी अतिपरवलय की स्पशरिखा (tangent) बिन्दु $$(1,0)$$ से गुजरती है, एवं मान लीजिये कि बिन्दु $$P$$ पर डाले गये अतिपरवलय का अभिलम्ब (normal) निर्देशक अक्षों (coordinate axes) पर बराबर अन्तःखंड (equal intercepts) काटता है। माना कि $$P$$ पर डाली गयी स्पशरिखा, $$P$$ पर डाले गये अभिलम्ब एवं $$x$$-अक्ष द्वारा बनाये गए त्रिभुज (triangle) के क्षेत्रफल (area) को $$\Delta$$ से दर्शाया जाता है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता (eccentricity) को $$e$$ से दर्शाया जाता है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ और $$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ ऐसे फलन (functions) हैं जो कि सभी $$x, y \in \mathbb{R}$$ के लिये

$$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x) f(y)$$ एवं $$f(x)=x g(x)$$

को संतुष्ट करते हैं। यदि $$\lim_\limits{x \rightarrow 0} g(x)=1$$ है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि वास्तविक संख्याएँ (real numbers) $$\alpha, \beta, \gamma, \delta$$ इस प्रकार से हैं कि $$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2} \neq 0$$ एवं $$\alpha+\gamma=1$$ हैं । मान लीजिये कि समतल (plane) $$\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta$$ के सापेक्षा, बिन्दु $$(1,0,-1)$$ का दर्पण प्रतिबिम्ब (mirror image), बिन्दु $$(3,2,-1)$$ है । तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि $$a$$ और $$b$$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (positive real numbers) हैं। मान लीजिये कि $$\overrightarrow{P Q}=a \hat{i}+b \hat{j}$$ एवं $$\overrightarrow{P S}=a \hat{i}-b \hat{j}$$ समांतर चतुर्भुज (parallelogram) $$P Q R S$$ की संलग्र भुजाएं (adjacent sides) हैं । माना कि $$\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}$$ के $$\overrightarrow{P Q}$$ और $$\overrightarrow{P S}$$ पर प्रक्षेप सदिश (projection vectors) क्रमशः $$\vec{u}$$ और $$\vec{v}$$ हैं | यदि $$|\vec{u}|+|\vec{v}|=|\vec{w}|$$ है एवं यदि समांतर चतुर्भुज $$P Q R S$$ का क्षेत्रफल (area) $$8$$ है, तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

माना कि ऋणेतर पूर्णांकों (nonnegative integers) $$s$$ एवं $$r$$ के लिये

$$\left(\begin{array}{l}s \\r\end{array}\right)= \begin{cases}\frac{s !}{r !(s-r) !} & \text { if } r \leq s, \\0 & \text { if } r>s\end{cases}$$

है | माना कि धनात्मक पूर्णांकों (positive integers) $$m$$ एवं $$n$$ के लिये

$$g(m, n)=\sum_\limits{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\left(\begin{array}{c}n+p \\p\end{array}\right)}$$

है, जहाँ किसी ऋणेतर पूर्णांक $$p$$ के लिये

$$f(m, n, p)=\sum_\limits{i=0}^{p}\left(\begin{array}{c}m \\i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n+i \\p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p+n \\p-i\end{array}\right)$$

है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

एक अभियंता (engineer) को किसी कारखाने (factory) में प्रत्येक महीने के पहले 15 दिनों में से ठीक चार दिन (exactly four days) जाना है और यह जरुरी है कि उसको कभी भी दो दिन लगातर नहीं जाना है। तब 1 - 15 जून 2021 के बीच उस अभियंता के कारखाने में जाने के ऐसे सभी संभावित तरीको की संख्या (number of all possible ways) है _________

एक होटल में चार कमरे उपलब्ध हैं। छह व्यक्तियों को इन चार कमरों में इस प्रकार से ठहराना है कि प्रत्येक कमरे में कम से कम एक व्यक्ति हो एवं ज्यादा से ज्यादा दो व्यक्ति हों।तब ऐसा करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या (number of all possible ways) है __________

दो न्याय्य पासों (fair dice), जिनके फलको (faces) पर $$1,2,3,4,5$$ और $$6$$ अंकित है, को एक साथ उछाला जाता है एवं उनके फलको पर आने वाली संख्याओं के योगफल (sum) को देखा जाता है । यह प्रक्रिया इस योगफल के एक अभाज्य संख्या (prime number) या एक पूर्ण वर्ग (perfect square) आने तक दोहराई जाती है । मान लीजिये कि यह योगफल अभाज्य संख्या आने से पहले एक पूर्ण वर्ग आता है। यदि इस पूर्ण वर्ग के विषम संख्या (odd number) होने की प्रायिकता (probability) $$p$$ है, तब $$14 p$$ का मान है __________

माना कि फलन (function) $$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}$$

से परिभाषित किया जाता है। तब

$$f\left(\frac{1}{40}\right)+f\left(\frac{2}{40}\right)+f\left(\frac{3}{40}\right)+\cdots+f\left(\frac{39}{40}\right)-f\left(\frac{1}{2}\right)$$

का मान है ____________

माना कि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक ऐसा अवकलनीय फलन (differentiable function) है जिसका अवकलज (derivative) $$f'$$ संतत (continuous) है, एवं $$f(\pi)=-6$$ है | यदि $$F:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$$ को $$F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$$ से परिभाषित किया जाता है, एवं यदि

$$\int_\limits{0}^{\pi}\left(f^{\prime}(x)+F(x)\right) \cos x d x=2$$

है, तब $$f(0)$$ का मान है _____________

माना कि फलन (function) $$f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$$ को

$$f(\theta)=(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{4}$$

से परिभाषित किया जाता है । मान लीजिये कि फलन $$f$$ का स्थानीय न्यूनतम (local minimum) केवल और केवल (precisely) उन्हीं $$\theta$$ पर है जिनके लिये $$\theta \in\left\{\lambda_{1} \pi, \ldots, \lambda_{r} \pi\right\}$$ हो, जहाँ $$0 < \lambda_{1}< \cdots < \lambda_{r} < 1$$ है । तब $$\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r}$$ का मान है __________