मान लें $$a,\,b \in R\,और\,{a^{2\,}} + {b^2} \ne 0$$। मान लें
$$S = \left\{ {Z \in C:Z = {1 \over {a + ibt}}, + \in R,t \ne 0} \right\}$$, जहां $$i = \sqrt { - 1} $$. यदि $$z = x + iy$$ और $$z$$ $$ \in $$ S, तब (x, y) पर स्थित है

निम्नलिखित का मान

$$\sum\limits_{k = 1}^{13} {{1 \over {\sin \left( {{\pi \over 4} + {{\left( {k - 1} \right)\pi } \over 6}} \right)\sin \left( {{\pi \over 4} + {{k\pi } \over 6}} \right)}}} $$ के बराबर है

मान लीजिए $$P$$ एक परवलय $${y^2} = 4x$$ पर वह बिंदु है जो वृत्त $${x^2} + {y^2} - 4x - 16y + 64 = 0$$ के केंद्र $$S$$ से सबसे कम दूरी पर है। $$Q$$ वृत्त पर वह बिंदु है जो रेखा खंड $$SP$$ को आंतरिक रूप से विभाजित करता है। फिर

मान लें $${F_1}\left( {{x_1},0} \right)$$ और $${F_2}\left( {{x_2},0} \right)$$ जहां $${{x_1} < 0}$$ और $${{x_2} > 0}$$, दीर्घवृत्त के फोकस हैं $${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 8} = 1$$। मान लें कि एक परबोला जिसकी शीर्ष बिंदु बीच पर फिर $${F_2}$$ पर केंद्रित है, पहले चतुर्वांस में बिंदु $$M$$ पर और चौथे चतुर्वांस में बिंदु $$N$$ पर दीर्घवृत्त को काटता है।

यदि दीर्घवृत्त के बिंदु $$M$$ और $$N$$ पर स्पर्श रेखाएँ $$R$$ पर मिलती हैं और परबोला की समानक $$M$$ पर $$x$$-अक्ष पर $$Q$$ से मिलती हैं, तो त्रिभुज $$MQR$$ का क्षेत्रफल और चतुर्भुज $$M{F_1}N{F_2}$$ का क्षेत्रफल का अनुपात है

मान लें $${F_1}\left( {{x_1},0} \right)$$ और $${F_2}\left( {{x_2},0} \right)$$ जहाँ $${{x_1} < 0}$$ और $${{x_2} > 0}$$, दीर्घवृत्त के केंद्र $${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 8} = 1$$ के नाभिक हैं। मान लें कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभिक $${F_2}$$ है, दीर्घवृत्त को पहले चतुर्थांश में बिंदु $$M$$ और चौथे चतुर्थांश में बिंदु $$N$$ पर प्रतिच्छेदित करता है।

त्रिभुज $${F_1}MN$$ का लम्बकेंद्र है

मान लें कि f: R $$ \to \left( {0,\infty } \right)$$ और g : R $$ \to $$ R वस्तुतः द्विघात रेखीय फलन हैं, जिसके फलन f'' और g'' R पर निरंतर फलन हैं। मान लें कि f'$$(2)$$ $$=$$ g$$(2)=0$$, f''$$(2)$$$$ \ne 0$$ और g'$$(२)$$ $$ \ne 0$$। यदि
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{f\left( x \right)g\left( x \right)} \over {f'\left( x \right)g'\left( x \right)}} = 1,$$ तब

$$\int\limits_{-{\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {{{{x^2}\cos x} \over {1 + {e^x}}}dx} $$ का मान बराबर है

क्षेत्र का क्षेत्रफल

$$\left\{ {\left( {x,y} \right) \in {R^2}:y \ge \sqrt {\left| {x + 3} \right|} ,5y \le x + 9 \le 15} \right\}$$

बराबर है

$$\,\,\,\,P\,\left( {X > Y} \right)$$ है

फुटबॉल टीमें $${T_1}$$ और $${T_2}$$ को एक दूसरे के खिलाफ दो गेम खेलने हैं। यह मान लिया गया है कि दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $${T_1}$$ द्वारा $${T_2}$$ के खिलाफ एक मैच जीतने, ड्रा करने और हारने की संभावनाएं क्रमश: $${1 \over 2},{1 \over 6}$$ और $${1 \over 3}$$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $$3$$ अंक, ड्रा के लिए $$1$$ अंक और एक मैच हारने पर $$0$$ अंक मिलते हैं। मान लें $$X$$ और $$Y$$ टीमें $${T_1}$$ और $${T_2}$$ द्वारा दो मैचों के बाद प्राप्त कुल अंकों का मान दर्शाते हैं।

$$P\,\left( {X = Y} \right)$$ है

मान लें कि $$P$$ बिन्दु $$(3,1,7)$$ का समतल $$x-y+z=3$$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है। तब समतल की समीकरण जो $$P$$ से होकर गुजरती है और सरल रेखा $${x \over 1} = {y \over 2} = {z \over 1}$$ को शामिल करती है, है

मान लें $$\widehat u = {u_1} \widehat i + {u_2}\widehat j + {u_3}\widehat k$$ $${{R^3}}$$ में एक इकाई सदिश हो और
$$\widehat w = {1 \over {\sqrt 6 }}\left( {\widehat i + \widehat j + 2\widehat k} \right).$$ दिया गया है कि $${\overrightarrow v }$$ में $${{R^3}}$$ ऐसा एक सदिश है कि $$\left| {\widehat u \times \overrightarrow v } \right| = 1$$ और $$\widehat w.\left( {\widehat u \times \overrightarrow v } \right) = 1.$$ निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सत्य है?

मान लें
$$f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{{{n^n}\left( {x + n} \right)\left( {x + {n \over 2}} \right)...\left( {x + {n \over n}} \right)} \over {n!\left( {{x^2} + {n^2}} \right)\left( {{x^2} + {{{n^2}} \over 4}} \right)....\left( {{x^2} + {{{n^2}} \over {{n^2}}}} \right)}}} \right)^{{x \over n}}},$$

सभी $$x>0$$ के लिए। तब

यदि $$P = \left[ {\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 4 & 1 & 0 \cr {16} & 4 & 1 \cr } } \right]$$ और I क्रम 3 का इकाई मैट्रिक्स हो। यदि $$Q = [{q_{ij}}]$$ एक मैट्रिक्स है ऐसा कि $${P^{50}} - Q = I$$ और $${{{q_{31}} + {q_{32}}} \over {{q_{21}}}}$$ का मान है

मान लें कि b_i > 1 है जहाँ i = 1, 2, ......, 101। मान लें कि log_eb₁, log_eb₂, ......., log_eb₁₀₁ अंकगणितीय श्रेणी (A.P.) में सामान्य अंतर log_e2 के साथ हैं। मान लें कि a₁, a₂, ......, a₁₀₁ A.P. में हैं ऐसे कि a₁ = b₁ और a₅₁ = b₅₁। यदि t = b₁ + b₂ + .... + b₅₁ और s = a₁ + a₂ + ..... + a₅₁, तो

मान लें कि a, b $$\in$$ R और f : R $$\to$$ R द्वारा परिभाषित है $$f(x) = a\cos (|{x^3} - x|) + b|x|\sin (|{x^3} + x|)$$। तब f

मान लें कि a, $$\lambda$$, m $$\in$$ R। रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

ax + 2y = $$\lambda$$

3x $$-$$ 2y = $$\mu$$

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लें कि $$f:\left[ { - {1 \over 2},2} \right] \to R$$ और $$g:\left[ { - {1 \over 2},2} \right] \to R$$ फलन हैं परिभाषित इस प्रकार $$f(x) = [{x^2} - 3]$$ और $$g(x) = |x|f(x) + |4x - 7|f(x)$$, जहाँ [y] y का सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जो y से कम या बराबर होता है जब $$y \in R$$। तब