यदि $\mathrm{I}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} \mathrm{~d} x$, तब $\int_0^{21} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \mathrm{~d} x$ बराबर है :

कितने जटिल संख्याएं $z$, जो $|z|=1$ और $\left|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right|=1$, को संतुष्ट करती हैं :

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ की उस जीवा की लंबाई जिसका मध्य बिंदु $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ है :

मान लीजिए कि बिंदु A रेखा खंड को जोड़ता है जो बिंदु $\mathrm{P}(-1,-1,2)$ और $\mathrm{Q}(5,5,10)$ को आंतरिक रूप से $r: 1(r>0)$ के अनुपात में जोड़ता है। यदि O मूलबिंदु है और $(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})-\frac{1}{5}|\overrightarrow{\mathrm{OP}} \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=10$, तो $r$ का मान क्या है :

एक बोर्ड में 16 वर्ग होते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

इन 16 वर्गों में से, दो वर्ग यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। इसकी संभावना क्या है कि उनका कोई भी पक्ष साझा नहीं करता है:

यदि रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{-3}$ और $\frac{x+1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z+5}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का वर्ग $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $m$, $n$ परस्पर अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $m+n$ का मान क्या होगा :

मान लीजिए $\mathrm{X}=\mathbf{R} \times \mathbf{R}$। X पर R संबंध को इस प्रकार परिभाषित करें :

$$\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right) \Leftrightarrow b_1=b_2$$

वक्तव्य I: $\mathrm{R}$ एक तुल्यता संबंध है।

वक्तव्य II : कुछ $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{X}$ के लिए, $\operatorname{set} \mathrm{S}=\{(x, y) \in \mathrm{X}:(x, y) \mathrm{R}(\mathrm{a}, \mathrm{b})\}$ एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है जो $y=x$ के समानांतर है।

उपरोक्त वक्तव्यों के प्रकाश में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

यदि क्षेत्र का क्षेत्रफल $\left\{(x, y):-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \mathrm{a}+\mathrm{e}^{|x|} \mid-\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{a}>0\right\}$ $\frac{\mathrm{e}^2+8 \mathrm{e}+1}{\mathrm{e}}$ है, तो $a$ का मान है :

मान लीजिए फलन $f(x)=6+16 \cos x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cdot \sin 3 x \cdot \cos 6 x, x \in \mathbf{R}$ की सीमा $[\alpha, \beta]$ है। तब बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा $3 x+4 y+12=0$ से दूरी है :

समीकरणों की व्यवस्था

$$\begin{aligned} & x+y+z=6, \\ & x+2 y+5 z=9, \\ & x+5 y+\lambda z=\mu, \end{aligned}$$

का कोई समाधान नहीं है यदि

बिंदु $(1,4,0)$ से रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{4}$ की दूरी रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{3}$ के साथ है :

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^2-3 x+5\right)(3 x-1)^{\frac{x}{2}}}{\left(3 x^2+5 x+4\right) \sqrt{(3 x+2)^x}}$ निम्नलिखित के बराबर है :

मान लें $A=\left[a_{i j}\right]$ एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स है इस प्रकार कि $A\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], A\left[\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$ और $A\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$, तो $a_{23}$ निम्नलिखित के बराबर है :

मान लें $\mathrm{A}=\{(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}:|x+y| \geqslant 3\}$ और $\mathrm{B}=\{(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}:|x|+|y| \leq 3\}$. यदि $\mathrm{C}=\{(x, y) \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}: x=0$ या $y=0\}$, तो $\sum_{(x, y) \in \mathrm{C}}|x+y|$ निम्नलिखित है :

यदि $(1+x)^{\mathrm{p}}(1-x)^{\mathrm{q}}$ के विस्तार में, $x$ और $x^2$ के गुणांकों की मान 1 और -2 हैं, तो $\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2$ का मान निम्नलिखित है :

एक छड़ जिसकी लंबाई आठ इकाइयाँ है, इस प्रकार गति करती है कि इसके छोर $A$ और $B$ हमेशा रेखाओं $x-y+2=0$ और $y+2=0$ पर स्थित होते हैं। यदि बिंदु $P$ का आणविक स्थान, जो छड़ $A B$ को आतंरिक रूप से $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है, $9\left(x^2+\alpha y^2+\beta x y+\gamma x+28 y\right)-76=0$ है, तो $\alpha-\beta-\gamma$ के बराबर है :

मान लें कि $\int x^3 \sin x \mathrm{~d} x=g(x)+C$, जहाँ $C$ स्थिरांक है। यदि $8\left(g\left(\frac{\pi}{2}\right)+g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\alpha \pi^3+\beta \pi^2+\gamma, \alpha, \beta, \gamma \in Z$, तो $\alpha+\beta-\gamma$ बराबर है :

एक गोल चॉकलेट बॉल के चारों ओर एक समान मोटाई की आइसक्रीम की परत है। जब आइसक्रीम परत की मोटाई 1 cm है, तो आइसक्रीम के गलने की दर $81 \mathrm{~cm}^3 / \mathrm{min}$ है और आइसक्रीम परत की मोटाई घटने की दर $\frac{1}{4 \pi} \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ है। चॉकलेट बॉल की सतह का क्षेत्रफल (बिना आइसक्रीम परत के) $\mathrm{cm}^2$ में है :

$(a, 0), a>0$, से परबोला $y^2=4 x$ की न्यूनतम दूरी 4 है। तब उस वृत्त का समीकरण जहाँ वृत्त $(a, 0)$ और परबोला के फोकस से गुजरता है, और जिसका केंद्र परबोला की धुरी पर है, यह है :

मान लें $x=x(y)$ डिफरेंशियल समीकरण का समाधान $y=\left(x-y \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} y}\right) \sin \left(\frac{x}{y}\right), y>0$ और $x(1)=\frac{\pi}{2}$ है। तब $\cos (x(2))$ बराबर है :

मान लें कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-\mathrm{ax}-\mathrm{b}=0$ की मूल हों जहाँ $\operatorname{Im}(\alpha)<\operatorname{Im}(\beta)$। मान लें कि $\mathrm{P}_{\mathrm{n}}=\alpha^{\mathrm{n}}-\beta^{\mathrm{n}}$। यदि $\mathrm{P}_3=-5 \sqrt{7} i, \mathrm{P}_4=-3 \sqrt{7} i, \mathrm{P}_5=11 \sqrt{7} i$ और $\mathrm{P}_6=45 \sqrt{7} i$, तो $\left|\alpha^4+\beta^4\right|$ का मान __________ है।

परबोला $y^2=4 x+16$ का फोकस वृत्त $C$ के केंद्र पर है जिसकी त्रिज्या 5 है। यदि $\lambda$ के वे मान जिसके लिए C उन रेखाओं $3 x-y=0$ और $x+\lambda y=4$ के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर गुजरता है, $\lambda_1$ और $\lambda_2, \lambda_1<\lambda_2$ हैं, तो $12 \lambda_1+29 \lambda_2$ का मान ________ है।

5 लड़के और 4 लड़कियाँ एक पंक्ति में इस प्रकार बैठ सकती हैं कि या तो सभी लड़के एक साथ बैठें या कोई दो लड़के एक साथ न बैठें, इसके कुल तरीकों की संख्या ________ है।

द्विघात समीकरण $3 x^2-p x+q=0$ की जड़ें एक समान्तर श्रेणी के $10^{\text {वें }}$ और $11^{\text {वें }}$ पद हैं जिसका सामूहिक अंतर $\frac{3}{2}$ है। यदि इस समान्तर श्रेणी के पहले 11 पदों का योग 88 है, तो $q-2 p$ का मान ________ है।

$8,21,34,47, \ldots, 320$ संख्याओं का विकिरण _______ है।