यदि फलन $$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{x-1}{2 x+3}\right)$$ का प्रांत $$\mathrm{R}-(\alpha, \beta)$$ है, तो $$12 \alpha \beta$$ बराबर है :

माना तीन सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\alpha \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=5 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$$ एक त्रिभुज बनाते हैं, जो इस प्रकार है कि $$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$$ है तथा इस त्रिभुज का क्षेत्रफल $$5 \sqrt{6}$$ है। यदि $$\alpha$$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो $$|\vec{c}|^2$$ बराबर है :

माना $$f(x)=a x^3+b x^2+c x+41$$ इस प्रकार है कि $$f(1)=40, f^{\prime}(1)=2$$ तथा $$f^{\prime \prime}(1)=4$$ हैं। तो $$a^2+b^2+c^2$$ बराबर है :

परवलय $$y^2=4 x$$, वृत्त $$x^2+y^2=5$$ के क्षेत्रफल को दो भागों में बाँटता है। छोटे भाग का क्षेत्रफल है :

अवकल समीकरण $$(x^2+y^2) \mathrm{d} x-5 x y \mathrm{~d} y=0, y(1)=0$$ का हल है :

माना $$|\cos \theta \cos (60-\theta) \cos (60+\theta)| \leq \frac{1}{8}, \theta \epsilon[0,2 \pi]$$, है। तो $$\theta \epsilon[0,2 \pi]$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$\cos 3 \theta$$ का मान उच्चतम है, का योग है :

यदि श्रेणी $$\frac{1}{1 \cdot(1+\mathrm{d})}+\frac{1}{(1+\mathrm{d})(1+2 \mathrm{~d})}+\ldots+\frac{1}{(1+9 \mathrm{~d})(1+10 \mathrm{~d})}$$ का योग $$5$$ है, तो $$50 \mathrm{~d}$$ बराबर है :

$$x^2(1+x)^{98}+x^3(1+x)^{97}+x^4(1+x)^{96}+\ldots+x^{54}(1+x)^{46}$$ में $$x^{70}$$ का गुणांक $${ }^{99} \mathrm{C}_{\mathrm{p}}-{ }^{-46} \mathrm{C}_{\mathrm{q}}$$ है। तो $$\mathrm{p}+\mathrm{q}$$ का एक संभव मान है :

40 छात्रों की एक कक्षा के छात्रों की आयु का बारंबारता बंटन नीचे दिया है।

आयु	15	16	17	18	19	20
छात्रों की संख्या	5	8	5	12	$$x$$	$$y$$

यदि माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 1.25 है, तो $$4 x+5 y$$ बराबर है :

माना $$(2,0)$$ से होकर जाने वाले एक वृत्त का केन्द्र $$(\mathrm{h}, \mathrm{k})$$ है। माना रेखाओं $$3 x+5 y=1$$ तथा $$(2+\mathrm{c}) x+5 c^2 y=1$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$(x_c, y_c)$$ है। यदि $$\mathrm{h}=\lim _\limits{c \rightarrow 1} x_c$$ तथा $$\mathrm{k}=\lim _\limits{c \rightarrow 1} y_c$$ हैं, तो वृत्त का समीकरण है :

माना $$\int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\alpha x+\log _{\mathrm{e}}|\beta \sin x+\gamma \cos x|\right)+\mathrm{C}$$ है, जहाँ $$\mathrm{C}$$ समाकलन अचर है। तो $$\alpha+\frac{\gamma}{\beta}$$ बराबर है :

माना समीकरण $$x^2+2 \sqrt{2} x-1=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं। द्विघात समीकरण, जिसके मूल $$\alpha^4+\beta^4$$ तथा $$\frac{1}{10}\left(\alpha^6+\beta^6\right)$$ हैं, है:

माना $$f(x)=x^2+9, g(x)=\frac{x}{x-9}$$ हैं और $$\mathrm{a}=f \circ g(10), \mathrm{b}=g \circ f(3)$$ हैं। यदि दीर्घवृत्त $$\frac{x^2}{\mathrm{a}}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}}=1$$ की उल्केन्द्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः $$\mathrm{e}$$ तथा $$l$$ है, तो $$8 \mathrm{e}^2+l^2$$ बराबर है :

रेखाओं $$\frac{x-3}{4}=\frac{y+7}{-11}=\frac{z-1}{5}$$ तथा $$\frac{x-5}{3}=\frac{y-9}{-6}=\frac{z+2}{1}$$ के बीच की न्यूनतम दूरी है :

एक चर रेखा $$\mathrm{L}$$, बिंदु $$(3,5)$$ से होकर जाती है तथा धनात्मक निर्देशांक अर्कों को बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ और $$\mathrm{B}$$ पर काटती है। यदि $$\mathrm{O}$$ मूलबिंदु है, तो त्रिभुज $$\mathrm{OAB}$$ का न्यूनतम क्षेत्रफल है :

अवकल समीकरण $$2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+3=5 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$$ का हल वक्र, जो $$(0,1)$$ से होकर जाता है, एक शांकव है। इस शांकव का शीर्ष निम्न में से किस रेखा पर है ?

माना $$\lambda, \mu \in \mathbf{R}$$ है। यदि समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & 3 x+5 y+\lambda z=3 \\ & 7 x+11 y-9 z=2 \\ & 97 x+155 y-189 z=\mu \end{aligned}$$

के अनंत हल हैं, तो $$\mu+2 \lambda$$ बराबर है :

बिंदु $$\mathrm{P}(1,2)$$ से आने वाली रोशनी की एक किरण $$x$$-अक्ष पर बिंदु $$\mathrm{Q}$$ से परावर्तिंत होने के पश्चात् बिंदु $$\mathrm{R}(4,3)$$ से गुजरती है। यदि बिंदु $$\mathrm{S}(\mathrm{h}, \mathrm{k})$$ इस प्रकार है कि $$\mathrm{PQRS}$$ एक समांतर चतुर्भुज है, तो $$\mathrm{hk}$$ बराबर है :

माना रेखा $$\mathrm{L}$$, रेखाओं $$x-2=-y=z-1,2(x+1)=2(y-1)=z+1$$ को काटती है, तथा रेखा $$\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{2}$$ के समांतर है। तो निम्न में से कौन सा बिंदु $$\mathrm{L}$$ पर है?

माना $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=6 \overrightarrow{\mathrm{a}}+5 \overrightarrow{\mathrm{b}}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{b}}$$ हैं, जहाँ $$\mathrm{O}$$ मूल बिंदु है। यदि $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ संलग्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 15 वर्ग इकाई है, तो चतुर्भुज OABC का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) बराबर है :

माना $$A=\{2,3,6,7\}$$ तथा $$B=\{4,5,6,8\}$$ है। माना $$A \times B$$ पर एक संबंध $$R,\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right)$$ द्वारा तो ही परिभाषित है यदि और केवल यदि $$\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1+\mathrm{b}_2$$ है। तो $$\mathrm{R}$$ में अवयवों की संख्या हैं __________.

माना $$\lim _\limits{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{\sqrt{n^4+1}}-\frac{2 n}{\left(n^2+1\right) \sqrt{n^4+1}}+\frac{n}{\sqrt{n^4+16}}-\frac{8 n}{\left(n^2+4\right) \sqrt{n^4+16}}\right.\left.+\ldots+\frac{n}{\sqrt{n^4+n^4}}-\frac{2 n \cdot n^2}{\left(n^2+n^2\right) \sqrt{n^4+n^4}}\right)=\frac{\pi}{k}$$ है, जब प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल मुख्य मान लिए गए हैं। तो $$\mathrm{k}^2$$ बराबर है ___________.

माना $$f:(0, \pi) \rightarrow \mathbf{R}$$ एक फलन दिया गया है जो कि $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{\tan 8 x}{\tan 7 x},} & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \mathrm{a}-8, & x=\frac{\pi}{2} \\ (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|\tan x|}, & \frac{\pi}{2}< x<\pi \end{array}\right.$$ है, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z}$$ है। यदि $$f, x=\frac{\pi}{2}$$ पर सतंत है, तो $$\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2$$ बराबर है _________.

$$428^{2024}$$ को 21 से विभाजित करने पर शेषफल है _________.

यदि सभी $$\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ के लिए, $$f(\mathrm{~m}+\mathrm{n})=f(\mathrm{~m})+f(\mathrm{n})$$ है तथा $$f(1)=1$$ है, तो अधिकतम धन पूर्णांक $$\lambda$$, जिसके लिए $$\sum_\limits{\mathrm{k}=1}^{2022} f(\lambda+\mathrm{k}) \leq(2022)^2$$ है, है _________.

माना बिंदुओं $$(0,0),(1,0)$$ से होकर जाने वाले तथा वृत्त $$x^2+y^2=9$$ को स्पर्श करने वाले एक वृत्त का केन्द्र $$(\mathrm{h}, \mathrm{k})$$ है। तो केन्द्र $$(\mathrm{h}, \mathrm{k})$$ के सभी संभव निर्देशांकों के लिए, $$4\left(\mathrm{~h}^2+\mathrm{k}^2\right)$$ बराबर है ________.

समुचय $$\{z=\mathrm{a}+\mathrm{ib}: \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z}, z \in \mathrm{C},|z-1| \leq 1,|z-5| \leq|z-5 i|\}$$ के अवयवों के मापांकों के वर्गों का योग है ________.

माना $$\lambda$$ के सभी धनात्मक मानों, जिनके लिए फलन $$\left(1+x\left(\lambda^2-x^2\right)\right)$$ का स्थानीय निम्नतम का बिंदु $$\frac{x^2+x+2}{x^2+5 x+6}<0$$ को संतुष्ट करता है, का समुच्चय $$(\alpha, \beta)$$ है। तो $$\alpha^2+\beta^2$$ बराबर है _________.

माना $$\mathrm{A}$$, कोटि 3 का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। यदि $$\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} \mathrm{A}) \mathrm{A})))=3^{-13} \cdot 2^{-10}$$ तथा $$\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(2 \mathrm{~A}))=2^{\mathrm{m}} \cdot 3^{\mathrm{n}}$$ हैं, तो $$|3 \mathrm{~m}+2 \mathrm{n}|$$ बराबर है ________.

एक न्याख्य (fair) चतुष्फलकीय पासे, जिसके चार फलकों पर $$1,2,3,4$$ अंकित है, को तीन स्वतंत्र बार फेंकने पर $$a, b$$ तथा $$\mathrm{c}$$ प्राप्त होते हैं। यदि $$\mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$$ के सभी मूल वास्तविक होने की प्रायिकता $$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$ है, जहाँ $$\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$$ है, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है _________.