माना अवकल समीकरण $$\sec y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x \sin y=x^3 \cos y, y(1)=0$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ है। तो $$y(\sqrt{3})$$ बराबर है :

यदि रेखाओं $$\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$$ तथा $$\frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$$ के बीच की न्यूनतम दूरी $$\frac{13}{\sqrt{29}}$$ है, तो $$\lambda$$ का एक मान है :

$$X, Y, Z$$ तीन थैले हैं। थैले $$X$$ में एक रुपये के 5 सिक्के तथा पाँच रुपये के 4 सिक्के हैं, थैले $$Y$$ में एक रुपये के 4 सिक्के तथा पाँच रुपये के 5 सिक्के हैं और थैले $$Z$$ में एक रुपये के 3 सिक्के तथा पाँच रुपये के 6 सिक्के हैं। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा इसमें से यादृच्छया निकाला गया एक सिक्का, एक रुपये का पाया जाता है। तो इसके थैले $$\mathrm{Y}$$ से निकलने की प्रायिकता है:

प्रथम चतुर्थाश में वृत्त $$x^2+y^2=8$$ के अन्दर तथा परवलय $$y^2=2 x$$ के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना $$\vec{a}=4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$$ हैं तथा एक सदिश $$\vec{c}$$ के लिए $$(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=\vec{c} \times(-2 \vec{a}+3 \vec{b})$$ है। यदि $$(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot \vec{c}=1670$$ है, तो $$|\vec{c}|^2$$ बराबर है :

यदि बिन्दुओं $$(5,2)$$ तथा $$(2, a)$$ को मिलाने वाला रेखाखंड, मूलबिंदु पर $$\frac{\pi}{4}$$ का कोण बनाता है, तो $$a$$ के सभी संभव मानों के गुणनफल का निरपेक्ष मान है :

यदि $$\alpha \neq \mathrm{a}, \beta \neq \mathrm{b}, \gamma \neq \mathrm{c}$$ तथा $$\left|\begin{array}{lll}\alpha & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\ \mathrm{a} & \beta & c \\ \mathrm{a} & \mathrm{b} & \gamma\end{array}\right|=0$$ हैं, तो $$\frac{\mathrm{a}}{\alpha-\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{b}}{\beta-\mathrm{b}}+\frac{\gamma}{\gamma-\mathrm{c}}$$ बराबर है :

माना $$\int_\limits\alpha^{\log _\alpha 4} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^x-1}}=\frac{\pi}{6}$$ है। तो $$\mathrm{e}^\alpha$$ तथा $$\mathrm{e}^{-\alpha}$$ निम्न में से किस समीकरण के मूल हैं ?

यदि समीकरण निकाय $$x+4 y-z=\lambda, 7 x+9 y+\mu z=-3,5 x+y+2 z=-1$$ के अनंत हल हैं, तो $$(2 \mu+3 \lambda)$$ बराबर है:

माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{a} \quad \text { यदि }-\mathrm{a} \leq x \leq 0 \\ x+\mathrm{a} \text { यदि } \quad 0 < x \leq \mathrm{a}\end{array}\right.$$ है, जहाँ $$\mathrm{a}>0$$ तथा $$\mathrm{g}(x)=(f(|x|)-|f(x)|) / 2$$ है। तो फ्लन $$\mathrm{g}:[-\mathrm{a}, \mathrm{a}] \rightarrow[-\mathrm{a}, \mathrm{a}]$$

धनात्मक पदों की एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेढ़ी में, दूसरे तथा छठे पदों का योग $$\frac{70}{3}$$ है तथा तौसरे और पाँचवे पदों का गुणनफल 49 है। तो चौथे, छठे तथा आठवें पदों का योग है :

$$\mathrm{a}, \mathrm{b}>0$$ के लिए, माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\tan ((\mathrm{a}+1) x)+\mathrm{b} \tan x}{x}, & x<0 \\ 3 & x=0 \\ \frac{\sqrt{\mathrm{a} x+\mathrm{b}^2 x^2}-\sqrt{\mathrm{a} x}}{\mathrm{~b} \sqrt{\mathrm{a}} x \sqrt{x}}, & x>0\end{array}\right.$$

$$x=0$$ पर एक संतत फलन है। तो $$\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{A}=\{2,3,6,8,9,11\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\{1,4,5,10,15\}$$ है। माना $$\mathrm{R}, \mathrm{A} \times \mathrm{B}$$ पर एक संबंध है जो $$(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \mathrm{R}(\mathrm{c}, \mathrm{d})$$ द्वारा तो ही परिभाषित है यदि और केवल यदि $$3 \mathrm{ad}-7 \mathrm{bc}$$ एक सम संख्या है। तो संबंध $$\mathrm{R}$$

माना तीन सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$$ हैं। माना $$\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश $$\vec{r}$$ है। यदि $$\vec{r} \cdot \vec{a}=3$$ है, तो $$3 \lambda$$ बराबर है :

$$\theta \in[-\pi, 2 \pi]$$ के सभी संभव मानों, जिनके लिए $$\frac{1+\mathrm{i} \cos \theta}{1-2 \mathrm{i} \cos \theta}$$ शुद्धत: काल्पनिक है, का योग बराबर है :

MATHEMATICS शब्द के अक्षरों से पाँच अक्षर चुनने के तरीकों, जबकि चुने गए अक्षरों का भिश्न होना आवश्यक नहीं है, की संख्या है :

यदि फलन $$f(x)=2 x^3-9 \mathrm{a} x^2+12 \mathrm{a}^2 x+1, \mathrm{a}>0$$ का $$x=\alpha$$ पर एक स्थानीय उच्चतम है तथा $$x=\alpha^2$$ पर एक स्थानीय निम्नतम है, तो $$\alpha$$ तथा $$\alpha^2$$ निम्न में से किस समीकरण के मूल हैं ?

यदि $$\frac{3 \cos 36^{\circ}+5 \sin 18^{\circ}}{5 \cos 36^{\circ}-3 \sin 18^{\circ}}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{5}-\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$$ है, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं तथा $$\operatorname{gcd}(\mathrm{a}, \mathrm{c})=1$$ है, तो $$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$$ बराबर है :

यदि रेखा $$x+2 y=2$$ में $$(-4,5)$$ का प्रतिबिंब वृत्त $$(x+4)^2+(y-3)^2=\mathrm{r}^2$$ पर है, तो $$\mathrm{r}$$ बराबर है :

यदि $$\left(\sqrt{\mathrm{a}} x^2+\frac{1}{2 x^3}\right)^{10}$$ के प्रसार में $$x$$ से स्वतंत्र पद 105 है, तो $$\mathrm{a}^2$$ बराबर है :

माना $$a, b, c \in N$$ हैं तथा $$a < b < c$$ है। माना 5 प्रेक्षणों $$9,25, a, b, c$$ का माध्य, माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन तथा प्रसरण क्रमश: 18, 4 तथा $$\frac{136}{5}$$ हैं। तो $$2 a+b-c$$ बराबर है __________.

समीकरण $$|x+1||x+3|-4|x+2|+5=0$$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है ________.

यदि $$\int \frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^4(x+3)^6}} \mathrm{~d} x=\mathrm{A}\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B+\mathrm{C}$$ है, जहाँ $$\mathrm{C}$$ समाकलन अचर है, तो $$\alpha+\beta+20 \mathrm{AB}$$ का मान है

माना अतिपरकलय $$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$$ की धनात्मक $$x$$-अक्ष पर नाभि $$S$$ है। माना बिंदु $$S$$ से होकर जाने वाले एक वृत्त $$C$$ का केन्द्र $$\mathrm{A}(\sqrt{6}, \sqrt{5})$$ है। यदि $$\mathrm{O}$$ मूलबिंदु है तथा $$\mathrm{C}$$ का एक व्यास $$\mathrm{SAB}$$ है, तो त्रिभुज $$\mathrm{OSB}$$ के क्षेत्रफल का वर्ग है __________.

माना रेखा $$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$$ में बिंदु $$\mathrm{Q}(1,6,4)$$ का प्रतिबिंब $$\mathrm{P}(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो $$2 \alpha+\beta+\gamma$$ बराबर है _______.

माना परवलय $$y^2=2 x$$ तथा रेखा $$x=24$$ से घिरा क्षेत्र $$\mathrm{A}$$ है। तो क्षेत्र $$\mathrm{A}$$ के अंतर्गत आस्त का अधिकतम क्षेत्रफल है _________.

माना अवकल समीकरण $$x d y-y d x+x y(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x)=0, y(1)=2$$ का हल $$\alpha|x|=|y| \mathrm{e}^{x y-\beta}, \alpha, \beta \in \mathrm{N}$$ है। तो $$\alpha+\beta$$ बरावर है _________.

यदि $$\alpha=\lim _\limits{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{\tan x}}-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x}-\sqrt{x}}\right)$$ तथा $$\beta=\lim _\limits{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{2} \cot x}$$, द्विघात समीकरण $$\mathrm{a} x^2+\mathrm{b} x-\sqrt{\mathrm{e}}=0$$ के मूल हैं, तो $$12 \log _e(a+b)$$ बरावर है __________.

एक समांतर श्रेढ़ी को निम्न प्रकार से लिखा जाता है

तो दसर्वीं पंक्ति के सभी पदों का योग है __________ |

माना बिन्दु $$(3,10)$$ से गुजरने वाली प्रकाश की कोई किरण रेखा $$2 x+y=6$$ पर परावर्तिंत होती है तथा परावर्तिंत किरण बिन्दु $$(7,2)$$ से गुजरती है। यदि आपतित किरण का समीकरण $$a x+b y+1=0$$ है, तो $$\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+3 \mathrm{ab}$$ बराबर है ________.