लम्बाई 12 की भुजा के किसी समबाहु त्रिभुज में एक अंतवृत्त है। यदि इस वृत्त के अंतर्गत किसी वर्ग का क्षेत्रफल व परिमाप क्रमशः $$m$$ व $$n$$ है, तो $$m+n^2$$ बराबर है -

माना प्रवणता $$m>0$$ तथा बिन्दु $$(4,-9)$$ से गुजरने वाली कोई चर रेखा निर्देशांक अक्षों को बिन्दु $$A$$ और $$B$$ पर प्रतिच्छेद करती है। मूल बिन्दु से $$A$$ और $$B$$ की दूरियों के योग का न्यूनतम मान है

माना $$A=\{n \in[100,700] \cap \mathbb{N}: n$$ न तो 3 का गुणज है और न ही 4 का गुणज है$$\}$$, तो $$A$$ में अवयवों की संख्या है

माना $$C$$ न्यूनतम क्षेत्रफल का कोई वृत्त है जो परवलय $$y=6-x^2$$ और रेखा $$y=\sqrt{3}|x|$$ को स्पर्श कर रहा है। तब निम्नलिखित में से कौन-सा बिन्दु वृत्त $$C$$ पर स्थित होगा?

यदि $$A(3,1,-1), B\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right), C(2,2,1)$$ और $$D\left(\frac{10}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$$ चतुर्भुज $$A B C D$$ के शीर्ष हैं, तो इसका क्षेत्रफल है -

माना समुच्चय $$X=\{1,2,3, \ldots ., 20\}$$ में संबंध $$R_1$$ तथा $$R_2$$ इस प्रकार परिभाषित हैं कि $$R_1=\{(x, y): 2 x-3 y=2\}$$ और $$R_2=\{(x, y):-5 x+4 y=0\}$$ हैं।यदि $$M$$ और $$N$$ क्रमशः $$R_1$$ और $$R_2$$ में जोड़े जाने वाले आवश्यक न्यूनतम अवयवों की संख्याएँ हैं जिससे संबंध सममित बन जायें, तो $$M+N$$ बराबर है

माना वक्रों $$y=3 x, 2 y=27-3 x$$ और $$y=3 x-x \sqrt{x}$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$A$$ है, तो $$10 \mathrm{~A}$$ बराबर है

यदि $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}\right.$$, तो

रेखाओं $$\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$$ और $$\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$$ के बीच की न्यूनतम दूरी है -

माना $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$\left(2 x \log _e x\right) \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{3}{x} \log _e x, x>0$$ तथा $$y\left(e^{-1}\right)=0$$ का हल है, तो $$y(e)$$ बराबर है -

माना $$\alpha, \beta$$ समीकरण $$x^2-\left(\mathrm{t}^2-5 t+6\right) x+1=0, \mathrm{t} \in \mathbb{R}$$ के भिन्न मूल हैं और $$a_n=\alpha^n+\beta^n$$ है। तब $$\frac{a_{2023}+a_{2025}}{a_{2024}}$$ का न्यूनतम मान है

$$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ और प्राकृतिक संख्या $$n$$ के लिए, माना $$A_r=\left|\begin{array}{ccc}r & 1 & \frac{n^2}{2}+\alpha \\ 2 r & 2 & n^2-\beta \\ 3 r-2 & 3 & \frac{n(3 n-1)}{2}\end{array}\right|$$, तो $$2 A_{10}-A_8$$ है

माना $$f:(-\infty, \infty)-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक अवकलनीय फलन इस प्रकार का है कि $$f^{\prime}(1)=\lim _\limits{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$$, तो $$\lim _\limits{a \rightarrow \infty} \frac{a(a+1)}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)+a^2-2 \log _e a$$ बराबर है

$$\int_\limits0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$$ बराबर है

20 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमश 10 और 2 पाया जाता है। दोबारा जाँच में यह पाया गया कि गलती से कोई प्रेक्षण 12 के बजाय 8 ले लिया गया था। सही मानक विचलन है -

माना $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$\left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}, y(1)=0$$ का हल है, तो $$y(0)$$ है -

त्रिभुजों, जिनके शीर्ष एक सम अष्टभुज के शीर्षों पर हैं परन्तु जिनकी कोई भी भुजा अष्टभुज की एक भी भुजा नहीं है, की संख्या है

फलन $$f(x)=\frac{x^2+2 x-15}{x^2-4 x+9}, x \in \mathbb{R}$$ है

वह अंतराल, जिसमें फलन $$f(x)=x^x, x>0$$, निरंतर वर्धमान है, है

एक कंपनी के पास मोटरसाईकिल उत्पादन के लिए दो संयंत्र $$A$$ और $$B$$ है। $$60 \%$$ मोटरसाईकिल का उत्पादन संयंत्र $$A$$ में तथा शेष का उत्पादन संयत्र $$B$$ में होता है। संयंत्र $$A$$ में उत्पादित मोटरसाईकिलों के $$80 \%$$ को मानक गुणवत्ता की श्रेणी में रखा जाता है, जबकि संयंत्र $$B$$ में उत्पादित मोटरसाईकिलों के $$90 \%$$ को मानक गुणवत्ता की श्रेणी में रखा जाता है। किसी मोटरसाईकिल को कुल उत्पादन में से याहच्छया चुना जाता है तथा यह पाया जाता है कि वह मानक गुणवत्ता की है। यदि इसके संयंत्र $$B$$ में उत्पादित होने की प्रायिकता $$p$$ है, तो $$126 p$$ है

माना $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ समीकरण $$4 x^4+8 x^3-17 x^2-12 x+9=0$$ के हल हैं तथा $$\left(4+x_1^2\right)\left(4+x_2^2\right)\left(4+x_3^2\right)\left(4+x_4^2\right)=\frac{125}{16} m$$ है। तो $$m$$ का मान है ________.

माना कोई शंकु $$C$$ बिन्दु $$(4,-2)$$ से होकर जाता है तथा $$C$$ पर कोई बिन्दु $$P(x, y), x \geq 3$$ है। माना शंकु $$C$$ को मात्र एक बिन्दु $$P$$ पर स्पर्श करने वाली रेखा की प्रवणता बिन्दु $$P$$ तथा $$(3,-5)$$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता की आधी है। यदि $$C$$ पर स्थित बिन्दु $$(7,1)$$ की नाभीय दूरी $$d$$ है, तो $$12 d$$ बराबर है ________

यदि $$(x+y)^n$$ के प्रसार में द्वितीय, तृतीय व चतुर्थ पद क्रमशः 135, 30 तथा $$\frac{10}{3}$$ हैं, तो $$6\left(n^3+x^2+y\right)$$ बराबर है _________

माना $$\alpha \beta \gamma=45 ; \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$$ है। यदि कुछ $$x, y, z \in \mathbb{R}, x y z \neq 0$$, के लिए $$x(\alpha, 1,2)+y(1, \beta, 2)+z(2,3, \gamma)=(0,0,0)$$ है, तो $$6 \alpha+4 \beta+\gamma$$ बराबर है _______

माना बिन्दु $$P$$ के निर्देशांक $$(10,-2,-1)$$ है तथा बिन्दुओं $$(2,-5,11)$$ और $$(-6,7,-5)$$ से गुजरने वाली रेखा पर बिन्दु $$R(1,7,6)$$ से डाले गए लंब का पाद $$Q$$ है, तो रेखाखण्ड $$P Q$$ की लम्बाई बराबर है ________

माना किसी श्रेणी का प्रथम पद $$T_1=6$$ तथा उसका $$r$$-वाँ पद $$T_r=3 T_{r-1}+6^r, r=2,3$$, .......... $$n$$ है। यदि इस श्रेणी के प्रथम $$n$$ पदों का योग $$\frac{1}{5}\left(n^2-12 n+39\right)\left(4 \cdot 6^n-5 \cdot 3^n+1\right)$$ है, तो $$n$$ बराबर है _______

$$n \in \mathrm{N}$$ के लिए, यदि $$\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 4+\cot ^{-1} 5+\cot ^{-1} n=\frac{\pi}{4}$$, तो $$n$$ बराबर है _________

माना $$r_k=\frac{\int_0^1\left(1-x^7\right)^k d x}{\int_0^1\left(1-x^7\right)^{k+1} d x}, k \in \mathrm{N}$$ है। तो $$\sum_\limits{k=1}^{10} \frac{1}{7\left(r_k-1\right)}$$ का मान बराबर है ________

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$$ तथा सदिश $$\vec{c}$$ इस प्रकार है कि $$\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})+\vec{b} \times \vec{c}=\hat{i}+8 \hat{j}+13 \hat{k}$$ है। यदि $$\vec{a} \cdot \vec{c}=13$$, तो $$(24-\vec{b} \cdot \vec{c})$$ बराबर है _________.

माना बिन्दु $$P(0,1)$$ से गुजरने वाली तथा परवलय $$9 x^2+12 x+18 y-14=0$$ को स्पर्श करने वाली रेखाएँ $$L_1, L_2$$ हैं। माना रेखाओं $$L_1$$ तथा $$L_2$$ पर $$Q$$ तथा $$R$$ इस प्रकार बिन्दु हैं कि $$\triangle P Q R$$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $$Q R$$ है। यदि रेखाओं $$Q R$$ की प्रवणताएँ $$m_1$$ और $$m_2$$ हैं, तो $$16\left(m_1^2+m_2^2\right)$$ बराबर है ________