यदि फलन $$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-25}}{\left(4-x^2\right)}+\log _{10}\left(x^2+2 x-15\right)$$ का प्राँत $$(-\infty, \alpha) \cup[\beta, \infty)$$ है, तो $$\alpha^2+\beta^3$$ बराबर है :

यदि एक सम्मिश्र संख्या $$z$$ के लिए $$|z| \leqslant 1$$ है, तो $$\left|z+\frac{1}{2}(3+4 i)\right|$$ का न्यूनतम मान है :

एक $$\triangle \mathrm{ABC}$$, जहाँ $$\mathrm{A}(1,3,2), \mathrm{B}(-2,8,0)$$ तथा $$\mathrm{C}(3,6,7)$$ हैं, का विचार कीजिए। यदि कोण $$\mathrm{BAC}$$ की समद्विभाजक रेखा, $$\mathrm{BC}$$ को $$\mathrm{D}$$ पर मिलती है, तो सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$ के सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ पर प्रेक्षप की लंबाई है :

सभी $$a, b \in \mathbf{R}$$ के लिए $$a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1$$ तथा सभी $$(a, b),(c, d) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}$$ के लिए $$(a, b) R_2(c, d) \Leftrightarrow \mathrm{a}+\mathrm{d}=\mathrm{b}+\mathrm{c}$$ द्वारा परिभाषित संबंधों $$\mathrm{R}_1$$ तथा $$\mathrm{R}_2$$ में :

माना समीकरण निकाय $$x+2 y+3 z=5,2 x+3 y+z=9,4 x+3 y+\lambda z=\mu$$ के अनंत हल हैं। तो $$\lambda+2 \mu$$ बराबर है :

यदि $$\int_\limits0^{\frac{\pi}{3}} \cos ^4 x \mathrm{~d} x=\mathrm{a} \pi+\mathrm{b} \sqrt{3}$$ है, जहाँ $$\mathrm{a}$$ तथा $$\mathrm{b}$$ परिमेय संख्याएँ हैं, तो $$9 \mathrm{a}+8 \mathrm{~b}$$ बराबर है :

माना समीकरण $$\mathrm{p} x^2+\mathrm{q} x-\mathrm{r}=0, \mathrm{p} \neq 0$$ के मूल $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं। यदि $$\mathrm{p}, \mathrm{q}$$ तथा $$\mathrm{r}$$ एक परिवर्तनीय (non constant) G.P. के क्रमागत पद हैं तथा $$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$$ है, तो $$(\alpha-\beta)^2$$ का मान है :

माना अजय के JEE परीक्षा न देने की प्रायिकता $$\mathrm{p}=\frac{2}{7}$$ है, जबकि अजय तथा विजय दोनों के इस परीक्षा को देने की प्रायिकता $$\mathrm{q}=\frac{1}{5}$$ है। तो अजय के परीक्षा देने तथा विजय के परीक्षा न देने की प्रायिकता है :

माना दीर्घवृत्त $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$ पर एक बिंदु $$\mathrm{P}$$ है। माना $$\mathrm{P}$$ से होकर जाने वाली तथा $$y$$-अक्ष के समांतर रेखा, वृत्त $$x^2+y^2=9$$ को बिंदु $$\mathrm{Q}$$ पर मिलती है तथा $$\mathrm{P}$$ और $$\mathrm{Q}, x$$-अक्ष के एक ही ओर हैं। तो बिंदु $$\mathrm{P}$$ के दीर्घवृत्त पर चलने पर $$\mathrm{PQ}$$ पर एक बिंदु $$R$$, जिसके लिए $$P R: R Q=4: 3$$ है, के बिंदुपथ की उत्केन्द्रता है :

10 प्रेक्षणों $$x_1, x_2, \ldots, x_{10}$$, के लिए $$\sum_\limits{i=1}^{10}\left(x_i-\alpha\right)=2$$ तथा $$\sum_\limits{i=1}^{10}\left(x_i-\beta\right)^2=40$$ हैं, जहाँ $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ धनात्मक पूर्णांक हैं। माना इन प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमश: $$\frac{6}{5}$$ तथा $$\frac{84}{25}$$ हैं। तो $$\frac{\beta}{\alpha}$$ बराबर है :

माना $$f(x)=\left|2 x^2+5\right| x|-3|, x \in \mathbf{R}$$ हैं। यदि $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ क्रमश: उन बिंदुओं, जहाँ पर $$f$$ संतत नहीं है तथा अवकलनीय नहीं है की संख्या हैं, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है :

समीकरण $$4 \sin ^2 x-4 \cos ^3 x+9-4 \cos x=0 ; x \in[-2 \pi, 2 \pi]$$ के हलों की संख्या है :

माना मूल बिंदु से वृत्त $$x^2+(y-1)^2=1$$ पर खींची गई जीवाओं के मध्य बिंदु का बिंदुपथ रेखा $$x+y=1$$ को बिंदुओं $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर काटता है। तो $$\mathrm{PQ}$$ की लंबाई है।

माना $$\alpha$$ एक शून्येत्तर वास्तविक संख्या है। माना एक अवकलनीय फलन $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ के लिए $$f(0)=2$$ तथा $$\lim _\limits{x \rightarrow-\infty} f(x)=1$$ हैं। यदि $$f^{\prime}(x)=\alpha f(x)+3, \forall x \in \mathbf{R}$$ है, तो $$f\left(-\log _{\mathrm{e}} 2\right)$$ बराबर है ___________ |

माना रेखा $$\frac{x+3}{8}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{2}$$ पर बिंदु $$\mathrm{R}(1,2,3)$$ से 6 इकाई दूरी पर दो बिंदु $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ हैं। यदि त्रिभुज $$\mathrm{PQR}$$ का केन्द्रक $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है, तो $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$$ बराबर है :

$$\int_0^1\left(2 x^3-3 x^2-x+1\right)^{\frac{1}{3}} \mathrm{~d} x$$ का मान बराबर है :

यदि बिंदु $$\mathrm{P}(3,4,9)$$ का रेखा $$\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$$ में दर्पण प्रतिबिंब $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है, तो $$14(\alpha+\beta+\gamma)$$ बराबर है :

माना एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम $$\mathrm{n}$$ पदों का योग $$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$$ है। यदि $$\mathrm{S}_{10}=390$$ तथा दसवें और पाँचवें पदों का अनुपात $$15: 7$$ है, तो $$\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5$$ बराबर है :

माना $$\left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right)^{18}$$ के प्रसार में सातवें तथा तेरहवें पदों के गुणांक क्रमश: $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ है। तो $$\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}\right)^{\frac{1}{3}}$$ बराबर है :

माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, x \text { सम है, } \\ 2 x, \quad x \text { विषम है, }\end{array}\right.$$ $$x \in \mathbf{N}$$ हैं। यदि किसी $$\mathrm{a} \in \mathbf{N}$$ के लिए $$f(f(f(\mathrm{a})))=21$$ है, तो $$\lim _\limits{x \rightarrow \mathrm{a}^{-}}\left\{\frac{|x|^3}{\mathrm{a}}-\left[\frac{x}{\mathrm{a}}\right]\right\}$$, जहाँ $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है, बराबर है :

परवलय $$y=x^2$$ पर तीन बिंदु $$\mathrm{O}(0,0), \mathrm{P}\left(\mathrm{a}, \mathrm{a}^2\right), \mathrm{Q}\left(-\mathrm{b}, \mathrm{b}^2\right), \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$$ हैं। माना रेखा $$\mathrm{PQ}$$ तथा परवलय से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\mathrm{S}_1$$ है तथा त्रिभुज $$\mathrm{OPQ}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{S}_2$$ है। यदि $$\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}$$ का न्यूनतम मान $$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}, \operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$$ है, तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है __________।

$$\mathrm{k}$$ के सभी संभव मानों, जिनके लिए परवलयों $$2 y^2=\mathrm{k} x$$ तथा $$\mathrm{k} y^2=2(y-x)$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल अधिकतम है, के वर्गों का योग है _________ |

यदि $$y=\frac{(\sqrt{x}+1)\left(x^2-\sqrt{x}\right)}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1}{15}\left(3 \cos ^2 x-5\right) \cos ^3 x$$ है, तो $$96 y^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ बराबर है __________ |

यदि $$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1+x-y^2}{y}, x(1)=1$$ है, तो $$5 x(2)$$ बराबर है __________ |

माना $$f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$$ तथा $$\mathrm{F}(x)=\int_\limits0^x \mathrm{t} f(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$$ हैं। यदि $$\mathrm{F}\left(x^2\right)=x^4+x^5$$ है, तो $$\sum_\limits{\mathrm{r}=1}^{12} f\left(\mathrm{r}^2\right)$$ बराबर है __________ ।

माना एक समद्विबाहु त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ में $$\mathrm{A}$$, बिंदु $$(-1,0)$$ है, $$\angle \mathrm{A}=\frac{2 \pi}{3}$$ है, $$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$$ है तथा $$\mathrm{B}$$, धनात्मक $$x$$-अक्ष पर है। यदि $$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$$ तथा रेखा $$\mathrm{BC}$$, रेखा $$y=x+3$$ को $$(\alpha, \beta)$$ पर काटती है, तो $$\frac{\beta^4}{\alpha^2}$$ बराबर है ___________ ।

माना कोटि $$2 \times 1$$ के एक वास्तविक आव्यूह $$\mathrm{M}$$ के लिए $$\mathrm{M}^{\mathrm{T}} \mathrm{M}=\mathrm{I}_1$$ है तथा $$\mathrm{A}=\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}$$ है। यदि $$\lambda$$ एक वास्तविक संख्या है तथा कोटि $$2 \times 1$$ के किसी शून्येत्तर वास्तविक आव्यूह $$X$$ के लिए $$A X=\lambda X$$ है, तो $$\lambda$$ के सभी संभव मानों के वर्गों का योग है _____________ ।

माना तीन सदिशों $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{i}-8 \hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=4 \hat{i}+\mathrm{c}_2 \hat{j}+\mathrm{c}_3 \hat{k}$$ के लिए $$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}$$ हैं। यदि सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ तथा सदिश $$3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$$ के बीच का कोण $$\theta$$ है, तो महत्तम पूर्णांक $$\leq \tan ^2 \theta$$ बराबर है ___________।

यदि सार्व अनुपात $$\mathrm{r}(\mathrm{r}>1)$$ की एक G.P. के तीन क्रमागत पद एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं तथा $$[\mathrm{r}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{r}$$ है, तो $$3[\mathrm{r}]+[-\mathrm{r}]$$ बराबर है ________ |

रेखाएँ $$\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}$$ भिन्न हैं। $$\mathrm{n}=1,2,3, \ldots, 10$$ के लिए सभी रेखाएँ $$\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}-1}$$ एक दूसरे के समांतर हैं तथा सभी रेखाएँ $$\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}}$$ एक दिए गए बिंदु $$\mathrm{P}$$ से होकर जाती है। तो समुच्चय $$\left\{\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}\right\}$$ के रेखा युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या है __________।