माना $$\lambda \ne 0$$ एक वास्तविक संख्या है। माना $$\alpha,\beta$$ समीकरण $$14{x^2} - 31x + 3\lambda = 0$$ के मूल हैं और $$\alpha,\gamma$$ समीकरण $$35{x^2} - 53x + 4\lambda = 0$$ के मूल हैं। तब $${{3\alpha } \over \beta }$$ और $${{4\alpha } \over \gamma }$$ इस समीकरण के मूल हैं

माना $$B$$ और $$C$$ रेखा $$y+x=0$$ पर दो बिंदु हैं ऐसे कि $$B$$ और $$C$$ मूल के संबंध में सममित हैं। माना $$A$$ बिंदु $$y-2 x=2$$ पर है जैसे कि $$\triangle A B C$$ एक समभुज त्रिभुज है। तब, $$\triangle A B C$$ का क्षेत्रफल है:

तीन सड़े हुए सेब सात अच्छे सेबों के साथ गलती से मिला दिए जाते हैं और चार सेब एक के बाद एक बिना बदले हुए निकाले जाते हैं। संयोगशास्त्रीय चर X सड़े हुए सेबों की संख्या को दर्शाता है। यदि $$\mu$$ और $$\sigma^2$$ क्रमशः X का औसत और विचरण है, तब $$10(\mu^2+\sigma^2)$$ के बराबर है :

यदि $$f(\theta ) = 3\left( {{{\sin }^4}\left( {{{3\pi } \over 2} - \theta } \right) + {{\sin }^4}(3\pi + \theta )} \right) - 2(1 - {\sin ^2}2\theta )$$ और $$S = \left\{ {\theta \in [0,\pi ]:f'(\theta ) = - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right\}$$ हो। यदि $$4\beta = \sum\limits_{\theta \in S} \theta $$ हो, तो $$f(\beta )$$ का मान क्या है?

एक क्लब-टीम के पंद्रह फुटबॉल खिलाड़ियों को उनके पीठ पर नाम लिखे हुए 15 टी-शर्ट दिए गए हैं। यदि खिलाड़ी टी-शर्ट्स को यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, तो कम से कम 3 खिलाड़ियों द्वारा सही टी-शर्ट चुनने की संभावना है:

वृत्त पर बिंदुओं $$A(4,-11)$$ और $$B(8,-5)$$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएं, जिसकी समीकरण $$x^{2}+y^{2}-3 x+10 y-15=0$$ है, बिंदु $$C$$ पर चौरस करती हैं। यदि वृत्त का केंद्र $$C$$ हो और बिंदु $$A$$ और $$B$$ को जोड़ने वाली रेखा इसका स्पर्श रेखा हो, तो वृत्त की त्रिज्या किसके बराबर है:

माना $$f(x) = x + {a \over {{\pi ^2} - 4}}\sin x + {b \over {{\pi ^2} - 4}}\cos x,x \in R$$ एक फ़ंक्शन है जो

$$f(x) = x + \int\limits_0^{\pi /2} {\sin (x + y)f(y)dy} $$ को संतुष्ट करता है। तब $$(a+b)$$ का मान क्या है?

माना $$\alpha$$ और $$\beta$$ वास्तविक संख्याएँ हैं। एक 3 $$\times$$ 3 मैट्रिक्स A के बारे में विचार करें जिसके लिए $$A^2=3A+\alpha I$$। यदि $$A^4=21A+\beta I$$, तो

एक प्रकाश किरण मूल से उत्सर्जित होकर धनात्मक $$x$$-अक्ष के साथ 30$$^\circ$$ का कोण बनाती है। यह किरण, $$x+y=1$$ रेखा से परावर्तित होने के बाद, यदि $$x$$-अक्ष को Q पर चौरस करती है, तो Q का अनुदैशिका है:

दो गैर-शून्य जटिल संख्याओं $$z_{1}$$ और $$z_{2}$$ के लिए, यदि $$\operatorname{Re}\left(z_{1} z_{2}\right)=0$$ और $$\operatorname{Re}\left(z_{1}+z_{2}\right)=0$$, तो निम्नलिखित में से कौन संभव है?

A. $$\operatorname{Im}\left(z_{1}\right)>0$$ और $$\operatorname{Im}\left(z_{2}\right) > 0$$

B. $$\operatorname{Im}\left(z_{1}\right) < 0$$ और $$\operatorname{Im}\left(z_{2}\right) > 0$$

C. $$\operatorname{Im}\left(z_{1}\right) > 0$$ और $$\operatorname{Im}\left(z_{2}\right) < 0$$

D. $$\operatorname{Im}\left(z_{1}\right) < 0$$ और $$\operatorname{Im}\left(z_{2}\right) < 0$$

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

माना $$y=f(x)$$ डिफरेंशियल समीकरण $$y(x+1)dx-x^2dy=0,y(1)=e$$ का हल है। तब $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$$ का मान क्या है?

माना $$\Delta$$ क्षेत्र $$\left\{ {(x,y) \in {R^2}:{x^2} + {y^2} \le 21,{y^2} \le 4x,x \ge 1} \right\}$$ का क्षेत्रफल है। तब $${1 \over 2}\left( {\Delta - 21{{\sin }^{ - 1}}{2 \over {\sqrt 7 }}} \right)$$ के बराबर है

$$f(x) = {{{{\log }_{(x + 1)}}(x - 2)} \over {{e^{2{{\log }_e}x}} - (2x + 3)}},x \in \mathbb{R}$$ का डोमेन क्या है?

माना $$f:R \to R$$ एक ऐसा फंक्शन है जिसके लिए $$f(x) = {{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^2} + 1}}$$ है। तो

माना $$[x]$$ का अर्थ है $$\le x$$ की सबसे बड़ी पूर्णांक। $$f(x) = \max \left\{ {{x^2},1 + [x]} \right\}$$ फ़ंक्शन के बारे में विचार करें। तब $$\int\limits_0^2 {f(x)dx} $$ का मान है

माना $$A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq 0,2 x \leq y \leq \sqrt{4-(x-1)^{2}}\right\}$$ और

$$B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: 0 \leq y \leq \min \left\{2 x, \sqrt{4-(x-1)^{2}}\right\}\right\} \text{.} $$ है।

तब A के क्षेत्रफल का B के क्षेत्रफल के साथ अनुपात क्या है?

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली पर विचार करें

$$\alpha x+2y+z=1$$

$$2\alpha x+3y+z=1$$

$$3x+\alpha y+2z=\beta$$

कुछ $$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$$ के लिए। तब निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है।

यदि वेक्टर $$\overrightarrow a = \lambda \widehat i + \mu \widehat j + 4\widehat k$$, $$\overrightarrow b = - 2\widehat i + 4\widehat j - 2\widehat k$$ और $$\overrightarrow c = 2\widehat i + 3\widehat j + \widehat k$$ समतलीय हैं और $$\overrightarrow a $$ का वेक्टर $$\overrightarrow b $$ पर प्रक्षेपण $$\sqrt {54} $$ इकाइयाँ है, तब $$\lambda + \mu $$ के सभी संभावित मानों का योग कितना है :

माना $$x=2$$ समीकरण $$x^2+px+q=0$$ का एक मूल है और $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{1 - \cos ({x^2} - 4px + {q^2} + 8q + 16)} \over {{{(x - 2p)}^4}}},} & {x \ne 2p} \cr {0,} & {x = 2p} \cr } } \right.$$

तब $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2{p^ + }} [f(x)]$$, जहाँ $$\left[ . \right]$$ सबसे बड़ा पूर्णांक फ़ंक्शन को दर्शाता है, है

माना $$a_1,a_2,a_3,...$$ बढ़ती सकारात्मक संख्याओं का एक $$GP$$ है। यदि चौथे और छठे पदों का गुणनफल 9 है और पांचवें और सातवें पदों का योग 24 है, तो $$a_1a_9+a_2a_4a_9+a_5+a_7$$ का मान बराबर है __________।

माना $$f$$ एक फ़ंक्शन है जो $$f(x + y) = f(x) + f(y)$$ को संतुष्ट करता है सभी $$x,y \in N$$ के लिए और $$f(1) = {1 \over 5}$$. यदि $$\sum\limits_{n = 1}^m {{{f(n)} \over {n(n + 1)(n + 2)}} = {1 \over {12}}} $$, तो $$m$$ के बराबर है __________।

माना $$(1+2x)^n$$ के बाइनोमियल विस्तार में तीन लगातार पदों के गुणांक 2 : 5 : 8 के अनुपात में हैं। तो उन तीन पदों में से मध्य के पद का गुणांक __________ है।

यदि $${\left( {\alpha {x^3} + {1 \over {\beta x}}} \right)^{11}}$$ में $$x^9$$ का गुणांक और $${\left( {\alpha x - {1 \over {\beta {x^3}}}} \right)^{11}}$$ में $$x^{-9}$$ का गुणांक समान हैं, तब $$(\alpha\beta)^2$$ किसके बराबर है ___________।

यदि सभी छह अंकों की संख्याएँ $$x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5\,x_6$$ जिनके लिए $$0< x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$$ हो, बढ़ते क्रम में व्यवस्थित की जाती हैं, तो $$\mathrm{72^{th}}$$ संख्या में अंको का योग _____________ है।

माना $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ एक विभेद्य फ़ंक्शन है जो संबंध $$f(x+y)=f(x)+f(y)-1,\forall x,y\in\mathbb{R}$$ को संतुष्ट करता है। यदि $$f'(0)=2$$ है, तो $$|f(-2)|$$ किसके बराबर है ___________।

अंक 1, 2, 3, 5, 7 का उपयोग करके तथा पुनरावृत्ति के साथ बनाए गए पाँच अंकों वाले संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखा जाता है और क्रमांक संख्याएँ दी जाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 77777 की क्रमांक संख्या 1 होती है। तब संख्या 35337 की क्रमांक संख्या ____________ है।

माना $$\Delta ABC$$ का एक शीर्ष $$A(0,2,\alpha)$$ है और अन्य दो शीर्ष रेखा $${{x + \alpha } \over 5} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 4} \over 3}$$ पर स्थित हैं। $$\alpha \in \mathbb{Z}$$ के लिए, यदि $$\Delta ABC$$ का क्षेत्रफल 21 वर्ग इकाइयाँ और $$BC$$ रेखा खंड की लम्बाई $$2\sqrt{21}$$ इकाइयाँ है, तो $$\alpha^2$$ किसके बराबर है ___________।