माना कि $f(x)$, अंतराल (interval) $(0, \infty)$ में सांतत्य रूप से अवकलनीय (continuously differentiable) एक इस प्रकार का फलन (function) है कि $f(1)=2$, तथा प्रत्येक $x>0$ के लिए

$$ \lim \limits_{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1 $$

है। तब सभी $x>0$ के लिए, $f(x)$ बराबर है

एक छात्र, एक परीक्षा (quiz), जिसमें सभी प्रश्न केवल सत्य-असत्य (true-false) प्रकार के हैं, में बैठता है और सभी प्रश्नों के उत्तर देता है। छात्र कुछ प्रश्नों के उत्तर जानता है और शेष प्रश्नों के उत्तरों का अनुमान (guess) लगाता है। जब भी छात्र किसी प्रश्न का उत्तर जानता है, वह उसका सही उत्तर देता है। मान लीजिये कि छात्र द्वारा किसी प्रश्न के सही उत्तर देने की प्रायिकता (probability), जब यह ज्ञात है कि छात्र ने उत्तर का अनुमान लगाया है, $\frac{1}{2}$ है। यह भी मान लीजिये कि किसी प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाये जाने की प्रायिकता, जब यह ज्ञात है कि छात्र का उत्तर सही है, $\frac{1}{6}$ है। तब छात्र के किसी याहचछ्छया चुने गए (randomly chosen) प्रश्न का उत्तर जानने की प्रायिकता है

माना कि $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ इस प्रकार है कि $\cot x=\frac{-5}{\sqrt{11}}$ है। तब

$$ \left(\sin \frac{11 x}{2}\right)(\sin 6 x-\cos 6 x)+\left(\cos \frac{11 x}{2}\right)(\sin 6 x+\cos 6 x) $$

बराबर है

दीर्घवृत (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर विचार कीजिये। माना कि $S(p, q)$ प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में एक इस प्रकार का बिंदु है कि $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}>1$ है। बिंदु $S$ से दीर्घवृत के लिए दो स्पर्श रेखाएं (tangents) खींची गयी हैं, जिनमें से एक रेखा, दीर्धवृत पर लघु अक्ष (minor axis) के एक अंत्य बिंदु (end point) पर मिलती है तथा दूसरी रेखा चौथे चतुर्थांश (fourth quadrant) में दीर्घवृत के एक बिंदु $T$ पर मिलती है। माना कि $R$ दीर्घवृत का वह शीर्ष (vertex) है जिसका $x$-निर्देशांक ( $x$-coordinate) धनात्मक (positive) है, और दीर्घवृत का केंद्र $O$ है। यदि त्रिभुज $\triangle O R T$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}$ है, तब निम्नलिखित विकल्पों में से कौन सा सही है?

माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Z}\}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in \mathbb{N}\right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in \mathbb{N}\right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

माना कि $\mathbb{R}^2, \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ को दर्शाता है। माना कि $S=\left\{(a, b, c): a, b, c \in \mathbb{R}\right.$, और सभी $(x, y) \in \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ के लिए, $\left.a x^2+2 b x y+c y^2>0\right\}$ है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

माना कि $\mathbb{R}^3$, त्रि-विमीय अंतरिक्ष (three-dimensional space) को दर्शाता है। दो बिंदु $P=(1,2,3)$ और $Q=(4,2,7)$ लीजिये। माना कि $\operatorname{dist}(X, Y), \mathbb{R}^3$ के दो बिन्दुओं (points) $X$ और $Y$ के बीच की दूरी को दर्शाता है। माना कि

$$ \begin{aligned} S & =\left\{X \in \mathbb{R}^3:(\operatorname{dist}(X, P))^2-(\operatorname{dist}(X, Q))^2=50\right\} \text { और } \\\\ T & =\left\{Y \in \mathbb{R}^3:(\operatorname{dist}(Y, Q))^2-(\operatorname{dist}(Y, P))^2=50\right\} \end{aligned} $$

हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

माना कि $a=3 \sqrt{2}$ और $b=\frac{1}{5^{1 / 6} \sqrt{6}}$ हैं। यदि $x, y \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि

$$ \begin{aligned} & 3 x+2 y=\log _a(18)^{\frac{5}{4}} \quad \text { और } \\\\ & 2 x-y=\log _b(\sqrt{1080}), \end{aligned} $$

तब $4 x+5 y$ बराबर _________ है।

माना कि $f(x)=x^4+a x^3+b x^2+c$ वास्तविक गुणांकों (real coefficients) वाला एक ऐसा बहुपद (polynomial) है कि $f(1)=-9$ है। मान लीजिये कि $i \sqrt{3}$, समीकरण $4 x^3+3 a x^2+2 b x=0$ का एक मूल है, जहां $i=\sqrt{-1}$ है। यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, और $\alpha_4$, समीकरण $f(x)=0$ के सभी मूल हैं, तब $\left|\alpha_1\right|^2+\left|\alpha_2\right|^2+\left|\alpha_3\right|^2+\left|\alpha_4\right|^2$ का मान _______ है।

माना कि

$$ S=\left\{A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & c \\ 1 & a & d \\ 1 & b & e \end{array}\right): a, b, c, d, e \in\{0,1\} \text { और }|A| \in\{-1,1\}\right\}, $$

जहां $|A|$ आव्यूह (matrix) $A$ के सारणिक (determinant) को दर्शाता है। तब $S$ में अवयवों (elements ) की संख्या ______ है।

9 छात्रों, $s_1, s_2, \ldots, s_9$, के एक समूह को तीन टोलियाँ (teams) $X, Y$, तथा $Z$, जिनके सदस्यों की संख्या क्रमश:

2, 3, तथा 4 हैं, बनाने के लिए विभाजित किया जाना है। मान लीजिये कि $s_1$ को टोली $X$ के लिए नहीं चुना जा सकता है तथा $s_2$ को टोली $Y$ के लिए नहीं चुना जा सकता है। तब इस प्रकार की टोलियों को बनाने के तरीकों की संख्या ________ है।

माना कि $\overrightarrow{O P}=\frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{O Q}=\hat{i}+\frac{\beta-1}{\beta} \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{O R}=\hat{i}+\hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश (vectors) हैं, जहां $\alpha, \beta \in \mathbb{R}-\{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{O P} \times \overrightarrow{O Q}) \cdot \overrightarrow{O R}=0$, और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ तल (plane) $3 x+3 y-z+l=0$ पर स्थित है, तब $l$ का मान ___________ है।

माना कि $X$ एक यादच्छिक चर (random variable) है, और माना कि $P(X=x), X$ के मान $x$ लेने की प्रायिकता (probability) को दर्शाता है । माना कि बिंदु (points) $(x, P(X=x)), x=0,1,2,3,4, x y$-तल में एक नियत सरल रेखा (fixed straight line) पर स्थित हैं, और सभी $x \in \mathbb{R}-\{0,1,2,3,4\}$ के लिए $P(X=x)=0$ है। यदि $X$ का माध्य (mean) $\frac{5}{2}$ है, और $X$ का प्रसरण (variance) $\alpha$ है, तब $24 \alpha$ का मान _______ है।

माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल (roots) हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार कीजिये। एक $3 \times 3$ आव्यूह (matrix) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ के लिए, $R_i=a_{i 1}+a_{i 2}+a_{i 3}$ और $C_j=a_{1 j}+a_{2 j}+a_{3 j}$ परिभाषित कीजिये, जहां $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है।

सूची-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-II की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।

सूची-I	सूची-II
(P) आव्यूहों (matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ (entries) $T$ से हैं, और जिनमें सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ है, की संख्या है	(1) 1
(Q) सममित आव्यूहों (symmetric matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिनमें सभी $j$ के लिए $C_j=0$ है, की संख्या है	(2) 12
(R) माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा विषम सममित आव्यूह (skew symmetric matrix) है कि, $i>j$ के लिए $a_{i j} \in T$ है। तब समुच्चय $$ \left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right): x, y, z \in \mathbb{R}, M\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{array}\right)\right\} $$ में अवयवों (elements) की संख्या है	(3) अनंत (infinite)
(S) माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा आव्यूह है कि जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिसमें सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है। तब $M$ के सारणिक (determinant) का निरपेक्ष (absolute) मान है	(4) 6

सही कविल्प है:

माना कि सरल रेखा (straight line) $y=2 x$, एक वृत्त (circle) जिसका केंद्र (center) $(0, \alpha), \alpha>0$, है और जिसकी त्रिज्या (radius) $r$ है, को एक बिंदु $A_1$ पर स्पर्श करती है। माना कि $B_1$ वृत्त पर वह बिंदु है कि रेखाखंड (line segment) $A_1 B_1$ वृत्त का एक व्यास (diameter) है। माना कि $\alpha+r=5+\sqrt{5}$ है।

सूची-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-II की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।

सूची-I	सूची-II
(P) $\alpha$ बराबर	(1) $(-2, 4)$
(Q) $r$ बराबर	(2) $\sqrt{5}$
(R) $A_1$ बराबर	(3) $(-2, 6)$
(S) $B_1$ बराबर	(4) $5$
	(5) $(2, 4)$

सही कविल्प है:

माना कि $\gamma \in \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि रेखाएं $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3}$ और $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma}$ प्रतिच्छेदित (intersect) करती हैं। माना कि $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु (point of intersection) $R_1$ है। माना कि $O=(0,0,0)$ है, और $\hat{n}$, उस तल (plane) जिसमें $L_1$ और $L_2$ दोनों स्थित हैं, के एक मात्रक अभिलंब सदिश (unit normal vector) को दर्शाता है।

सूची-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-II की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।

सूची-I	सूची-II
(P) $\gamma$ बराबर	(1) $-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
(Q) $$ \hat{n} \text { का एक संभावित विकल्प (choice) है } $$	(2) $\sqrt{\frac{3}{2}}$
(R) $\overrightarrow{OR_1}$ बराबर	(3) $1$
(S) $$ \overrightarrow{O R_1} \cdot \hat{n} \text { का एक संभावित मान है } $$	(4) $\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}$
	(5) $\sqrt{\frac{2}{3}}$

सही कविल्प है:

माना कि फलन (functions) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0, \end{array} \text { और } g(x)=\left\{\begin{array}{cr} 1-2 x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ 0, & \text { अन्यथा (otherwise), } \end{array}\right. \text {, }\right. $$

द्वारा परिभाषित हैं। माना कि $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ हैं। फलन (function) $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ को

$$ h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), \quad x \in \mathbb{R}, $$

द्वारा परिभाषित कीजिये।

सूची-I की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-II की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।

सूची-I	सूची-II
(P) यदि $a=0, b=1, c=0$, और $d=0$ है, तब	(1) $h$ एकैकी (one-one) है।
(Q) यदि $a=1, b=0, c=0$, और $d=0$ है, तब	(2) $h$ आच्छादी (onto) है।
(R) यदि $a=0, b=0, c=1$, और $d=0$ है, तब	(3) $h, \mathbb{R}$ पर अवकलनीय (differentiable) है।
(S) यदि $a=0, b=0, c=0$, और $d=1$ है, तब	(4) $h$ का परिसर (range) $[0,1]$ है।
	(5) $h$ का परिसर (range) $\{0,1\}$ है।

सही कविल्प है: