किसी भी धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए, परिभाषित करें

$${f_n}:(0,\infty ) \to R$$ जैसा

$${f_n} = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}} \left( {{1 \over {1 + (x + j)(x + j - 1)}}} \right)$$

सबके लिए $$x \in (0, \infty).$$ (यहाँ, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $$\tan^{-1} x$$ का मान $$\left( - {\pi \over 2},{\pi \over 2} \right)$$ में है)। फिर, निम्नलिखित कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

मान लें कि $$T$$ रेखा $$P$$($$-$$2, 7) और $$Q$$(2, $$-$$5) बिंदुओं से होकर गुजरती है। $$F_1$$ उन सभी वृत्तों के युग्मों ($$S_1$$, $$S_2$$) का सेट है जिनके लिए $$T$$ $$P$$ पर $$S_1$$ को स्पर्श करती है और $$Q$$ पर $$S_2$$ को स्पर्श करती है, और साथ ही $$S_1$$ और $$S_2$$ एक बिंदु, जिसे $$M$$ कहते हैं, पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। $$E_1$$ उस सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो $$M$$ के लोकेस का प्रतिनिधित्व करता है जब युग्म ($$S_1$$, $$S_2$$) $$F_1$$ में परिवर्तन करता है। सभी सीधी रेखा खंडों का सेट जो $$E_1$$ के विभिन्न बिंदुओं के युग्मों को जोड़ता है और बिंदु $$R(1, 1)$$ से गुजरता है उसे $$F_2$$ कहते हैं। $$E_2$$ उस सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो $$F_2$$ के रेखा खंडों के मध्य बिंदुओं को दर्शाता है। फिर, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है/हैं?

सभी कॉलम मैट्रिक्स $$\left[ {\matrix{ {{b_1}} \cr {{b_2}} \cr {{b_3}} \cr } } \right]$$ का सेट S मान लें कि $${b_1},{b_2},{b_3} \in R$$ और समीकरणों का प्रणाली (वास्तविक चर में)

$$\eqalign{ & - x + 2y + 5z = {b_1} \cr & 2x - 4y + 3z = {b_2} \cr & x - 2y + 2z = {b_3} \cr} $$

का कम से कम एक हल है। तब, निम्नलिखित प्रणाली में से कौन सी (वास्तविक चर में) प्रत्येक $$\left[ {\matrix{ {{b_1}} \cr {{b_2}} \cr {{b_3}} \cr } } \right]$$$$ \in $$S के लिए कम से कम एक हल है?

दो प्रत्यक्ष सरल रेखाओं पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक वृत्त x² + y² = (1/2) और परवलय y² = 4x को स्पर्श करती है। ये रेखाएँ बिंदु Q पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। उस एलिप्स पर विचार करें जिसका केंद्र O(0, 0) पर है और जिसकी अर्ध-महाअक्ष OQ है। यदि इस एलिप्स की लघु-अक्ष की लंबाई $$\sqrt 2 $$ है, तो निम्नलिखित कथन में से कौन सा/से सत्य है/हैं?

मान लीजिए s, t, r अपूर्णांक संख्या हैं और L समाधानों का सेट है $$z = x + iy (x,y \in R,\,i = \sqrt { - 1} )$$ समीकरण के $$sz + t\overline z + r = 0$$ जहां $$\overline z $$ = x $$-$$ iy। तो निम्नलिखित कथनों में से कौन सा(से) सत्य है(हैं)?

मान लीजिए $$f : (0, $$\pi $$) $$ \to $$ R एक द्विगुण विभेद्य फलन है जिससे $$\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {{f(x)\sin t - f(t)\sin x} \over {t - x}} = {\sin ^2}x$$ सभी $$x \in (0, \pi ).$$

यदि $$f\left( {{\pi \over 6}} \right) = - {\pi \over {12}}$$ है, तो कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

समाकलन का मान

$$\int_0^{1/2} {{{1 + \sqrt 3 } \over {{{({{(x + 1)}^2}{{(1 - x)}^6})}^{1/4}}}}dx} $$ ........ है।

P को $$3 \times 3$$ क्रम का एक आव्यूह माना जाए, जिसमें सभी प्रविष्टियाँ {$$-$$1, 0, 1} सेट से हैं। तो, P के नियतांक का अधिकतम संभावित मान ............ है।

मान लीजिए X एक सेट है जिसमें ठीक 5 तत्व हैं और Y एक सेट है जिसमें ठीक 7 तत्व हैं। यदि $$\alpha $$ X से Y के लिए सभी एक-एक कार्यों की संख्या है और $$\beta $$ Y से X तक सभी ऑन-टू कार्यों की संख्या है, तो $${1 \over {5!}}(\beta - \alpha )$$ का मान .................. है।

मान लें कि $$f : R \to R$$ एक अवकलजनीय फलन है जिसमें $$f(0) = 0$$ है। यदि $$ y = f(x) $$ निम्नलिखित अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, $${{dy} \over {dx}} = (2 + 5y)(5y - 2)$$, तब $$\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } f(x)$$ का मान .......... है।

मान लीजिए f : R $$ \to $$ R एक अवकलनीय फलन है जिसके लिए f(0) = 1 है और यह समीकरण संतुष्ट करता है f(x + y) = f(x) f'(y) + f'(x) f(y) सभी x, y$$ \in $$ R के लिए।

तो, log_e(f(4)) का मान ........... है।

मान लीजिए कि P एक बिंदु है जो पहले अष्टक में है, जिसका प्रतिबिंब Q समतल x + y = 3 में है (अर्थात, रेखा खंड PQ समतल x + y = 3 के लंबवत है और PQ का मध्य-बिंदु समतल x + y = 3 में स्थित है) और वह Z-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए कि P की X-अक्ष से दूरी 5 है। यदि R, P का XY-समतल में प्रतिबिंब है, तो PR की लंबाई ............... है

पहले ऑक्टेंट में OP, OQ और OR के साथ X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष के साथ 1 लंबाई वाले घन पर विचार करें, जहाँ O(0, 0, 0) मूल बिंदु है। मान लें कि $$S\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)$$ घन का केंद्र है और T घन का शिखर है जो मूल बिंदु O के विपरीत है जिससे S विकर्ण OT पर स्थित है। यदि p = SP, q = SQ, r = SR और t = ST है, तो |(p $$ \times $$ q) $$ \times $$ (r $$ \times $$ t)| का मान ............ है।

मान लीजिए $$X = {({}^{10}{C_1})^2} + 2{({}^{10}{C_2})^2} + 3{({}^{10}{C_3})^2} + ... + 10{({}^{10}{C_{10}})^2}$$,

जहाँ $${}^{10}{C_r}$$, r $$ \in $${1, 2, ..., 10} द्विपद गुणांक को निरुपित करते हैं। फिर, $${1 \over {1430}}X$$ का मान ..........है।

मान लें $${E_1} = \left\{ {x \in R:x \ne 1\,और\,{x \over {x - 1}} > 0} \right\}$$ और


$${E_2} = \left\{ \matrix{ x \in {E_1}:{\sin ^{ - 1}}\left( {{{\log }_e}\left( {{x \over {x - 1}}} \right)} \right) \hfill \cr एक\,वास्तविक\,संख्या\,है \hfill \cr} \right\}$$

(यहाँ पर, इनवर्स ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन $${\sin ^{ - 1}}$$ x मान ग्रहण करता है $$\left[ { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right]$$.).

मान लें f : E₁ $$ \to $$ R वह फ़ंक्शन है जिसे f(x) = $${{{\log }_e}\left( {{x \over {x - 1}}} \right)}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है और g : E₂ $$ \to $$ R वह फ़ंक्शन है जिसे g(x) = $${\sin ^{ - 1}}\left( {{{\log }_e}\left( {{x \over {x - 1}}} \right)} \right)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

सूची-I	सूची-II
P. $f$ की रेंज है	1. $\left( -\infty, \frac{1}{1-e} \right] \cup \left[ \frac{e}{e-1}, \infty \right)$
Q. $g$ की रेंज में शामिल है	2. $(0, 1)$
R. $f$ का डोमेन शामिल है	3. $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$
S. $g$ का डोमेन है	4. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$
	5. $\left( -\infty, \frac{e}{e-1} \right)$
	6. $(-\infty, 0) \cup \left( \frac{1}{2}, \frac{e}{e-1} \right]$

सही विकल्प है :

एक हाई स्कूल में, 6 लड़कों M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ और 5 लड़कियों G₁, G₂, G₃, G₄, G₅ के समूह से एक समिति बनानी है।

(i) $$\alpha $$₁ उन सभी तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है, बशर्ते समिति में 5 सदस्य हों, जिसमें बिल्कुल 3 लड़के और 2 लड़कियां हों।

(ii) $$\alpha $$₂ उन सभी तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है, बशर्ते समिति में कम से कम 2 सदस्य हों, और लड़के और लड़कियों की संख्या बराबर हो।

(iii) $$\alpha $$₃ उन सभी तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है, बशर्ते समिति में 5 सदस्य हों, जिसमें कम से कम 2 लड़कियां हों।

(iv) $$\alpha $$₄ उन सभी तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है, बशर्ते समिति में 4 सदस्य हों, जिनमें कम से कम 2 लड़कियां हों और M₁ और G₁ समिति में एक साथ नहीं हों।

LIST-I	LIST-II
P. $\alpha_1$ का मान है	1. 136
Q. $\alpha_2$ का मान है	2. 189
R. $\alpha_3$ का मान है	3. 192
S. $\alpha_4$ का मान है	4. 200
	5. 381
	6. 461

सही विकल्प है

मान लीजिए $$H:{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$$, जहाँ $$a > b > 0$$ है, XY-समतल में एक हाइपरबोला है जिसके संयुग्म अक्ष LM अपने एक शीर्ष N पर 60$$^\circ $$ का कोण बनाता है। मान लीजिए कि $$\Delta $$LMN का क्षेत्रफल $$4\sqrt 3 $$ है।

	सूची - I		सूची - II
P.	H के संयुग्म अक्ष की लंबाई है	1.	8
Q.	H का विकेंद्रीकरण है	2.	$${4 \over {\sqrt 3 }}$$
R.	H के फोकलों के बीच की दूरी है	3.	$${2 \over {\sqrt 3 }}$$
S.	H का लाटुस रेक्टम की लंबाई है	4.	4

मान लें कि $${f_1}:R \to R,\,{f_2}:\left( { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right) \to R,\,{f_3}:( - 1,{e^{\pi /2}} - 2) \to R$$ और $${f_4}:R \to R$$ द्वारा परिभाषित कार्य हैं

(i) $${f_1}(x) = \sin (\sqrt {1 - {e^{ - {x^2}}}} )$$,

(ii) $${f_2}(x) = \left\{ \matrix{ {{|\sin x|} \over {\tan { - ^1}x}}if\,x \ne 0,\,where \hfill \cr 1\,if\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य tan^$$-$$1x $$\left( { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right)$$ में मान ग्रहण करता है,

(iii) $${f_3}(x) = [\sin ({\log _e}(x + 2))]$$, जहां $$t \in R$$ के लिए, $$[t]$$ t से कम या बराबर का सबसे बड़ा पूर्णांक है,

(iv) $${f_4}(x) = \left\{ \matrix{ {x^2}\sin \left( {{1 \over x}} \right)\,if\,x \ne 0 \hfill \cr 0\,if\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$

LIST-I	LIST-II
P. कार्य $$ f_1 $$ है	1. $$ x = 0 $$ पर निरंतर नहीं है
Q. कार्य $$ f_2 $$ है	2. $$ x = 0 $$ पर निरंतर है और $$ x = 0 $$ पर अवकलनीय नहीं है
R. कार्य $$ f_3 $$ है	3. $$ x = 0 $$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $$ x = 0 $$ पर निरंतर नहीं है
S. कार्य $$ f_4 $$ है	4. $$ x = 0 $$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $$ x = 0 $$ पर निरंतर है