किसी गैर-शून्य अवयवी संख्या z के लिए, arg(z) को प्रमुख तर्क $$-$$ $$\pi $$ < arg(z) $$ \le $$ $$\pi $$ के रूप में दर्शाता है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा कथन (कथन) गलत है?

एक $$\Delta $$PQR में $$30^\circ $$ कोण है और किनारों PQ और QR की लंबाई क्रमशः 10$$\sqrt 3 $$ और 10 है। फिर, निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

P₁ : 2x + y - z = 3 और P₂ : x + 2y + z = 2 दो समतल हैं। तो, निम्नलिखित कथन(ओं) में से कौन सा(से) सच है(हैं)?

प्रत्येक दो बार अवकलनीय फलन $$f:R \to [ - 2,2]$$ के लिए $${(f(0))^2} + {(f'(0))^2} = 85$$, निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

मान लें कि f : R $$ \to $$ R और g : R $$ \to $$ R दो गैर-अविराम अवकलनीय फलन हैं। यदि f'(x) = (e^{(f(x) $$-$$ g(x))}) g'(x) सभी x $$ \in $$ R के लिए और f(1) = g(2) = 1, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

मान लें f : [0, $$\infty $$) $$ \to $$ R एक आवृत्ति संबंधी फलन है जो

$$f(x) = 1 - 2x + \int_0^x {{e^{x - t}}f(t)dt} $$ सभी x $$ \in $$ [0, $$\infty $$) के लिए है। तब, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

$$({({\log _2}9)^2})^{{1 \over {{{\log }_2}({{\log }_2}9)}}} \times {(\sqrt 7 )^{{1 \over {{{\log }_4}7}}}}$$ का मान .................... है

5 अंकों वाली संख्या की कितनी संख्या 4 से विभाज्य हैं, जिनकी संख्याएं {1, 2, 3, 4, 5} सेट से ली जाती हैं और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, .................

मान लीजिए X उस सेट का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें 1, 6, 11, ... अंकगणितीय प्रगति की पहली 2018 शर्तें होती हैं, और Y उस सेट का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें 9, 16, 23, ... अंकगणितीय प्रगति की पहली 2018 शर्तें होती हैं। फिर, सेट X $$ \cup $$ Y में तत्वों की संख्या ......... है।

समीकरण $$\eqalign{ & {\sin ^{ - 1}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {} {x^{i + 1}} - x\sum\limits_{i = 1}^\infty {} {{\left( {{x \over 2}} \right)}^i}} \right) \cr & = {\pi \over 2} - {\cos ^1}\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {} {{\left( {{{ - x} \over 2}} \right)}^i} - \sum\limits_{i = 1}^\infty {} {{\left( { - x} \right)}^i}} \right) \cr} $$ के वास्तविक समाधानों की संख्या, $$\left( { - {1 \over 2},{1 \over 2}} \right)$$ के अन्तराल में ........... है।

(यहां पर, इनवर्स ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन्स sin^$$-$$1 x और cos^$$-$$1 x का मूल्य $${\left[ { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right]}$$ और $${\left[ {0,\pi } \right]}$$, क्रमशः में होता है।)

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, मान लें

$${y_n} = {1 \over n}(n + 1)(n + 2)...{(n + n)^{{1 \over n}}}$$.

x$$ \in $$R के लिए, मान लें [x] वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो x के बराबर या उससे कम है। यदि $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {y_n} = L$$, तो [L] का मान .............. है।

मान लीजिए $$a$$ और $$b$$ दो इकाई सदिश हैं ऐसे कि $$a \cdot b = 0$$। कुछ $$x, y$$ $$ \in $$R के लिए, मान लीजिए $$\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow b$$। यदि $$| \overrightarrow c | = 2$$ और सदिश $$c$$ दोनों $$a$$ और $$b$$ के लिए समान कोण $$\alpha$$ पर झुका हुआ है, तो $$8{\cos ^2}\alpha$$ का मान .............. है।

मान लीजिए कि a, b, c तीन गैर-शून्य वास्तविक संख्याएँ हैं इस प्रकार कि समीकरण $$\sqrt 3 a\cos x + 2b\sin x = c,x \in \left[ { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right]$$, के दो भिन्न वास्तविक मूल $$\alpha $$ और $$\beta $$ हैं जिनके लिए $$\alpha + \beta = {\pi \over 3}$$. तो, $${b \over a}$$ का मान ............ है

किसान F₁ के पास एक त्रिकोण के आकार में ज़मीन है जिसके शीर्ष P(0, 0), Q(1, 1) और R(2, 0) हैं। इस ज़मीन से एक पड़ोसी किसान F₂ वह क्षेत्र ले जाता है जो पक्ष PQ और y = xⁿ (n > 1) के रूप में एक वक्र के बीच में स्थित है। यदि किसान F₂ द्वारा लिया गया क्षेत्र $$\Delta $$PQR के क्षेत्र का बिल्कुल 30% है, तो n का मान ................. है।

मान लीजिये S XY-समतल में वृत्त है जो समीकरण x² + y² = 4 से परिभाषित है।

मान लीजिये E₁E₂ और F₁F₂ S की जीवा हैं जो बिन्दु P₀ (1, 1) से होकर गुजरती हैं और क्रमशः X-अक्ष और Y-अक्ष के समांतर हैं। मान लीजिये G₁G₂ S की जीवा है जो P₀ से होकर गुजरती है और जिसका ढाल $$-$$1 है। मान लीजिये E₁ और E₂ पर S की स्पर्श रेखाएं E₃ पर मिलती हैं, F₁ और F₂ पर S की स्पर्श रेखाएं F₃ पर मिलती हैं, और G₁ और G₂ पर S की स्पर्श रेखाएं G₃ पर मिलती हैं। तो, बिन्दु E₃, F₃ और G₃ निम्नलिखित वक्र पर स्थित हैं

मान लें कि S XY-समतल में वृत्त का परिभाषित समीकरण x² + y² = 4 है।

मान लें कि P S में एक बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक सकारात्मक हैं। P पर S का स्पर्शरेखा समन्वय अक्षों को M और N बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। तब रेखा खंड MN का मध्य बिंदु वक्र में स्थित होना चाहिए:

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$, $$S_4$$ और $$S_5$$ हैं और उनके लिए पाँच सीटें $$R_1$$, $$R_2$$, $$R_3$$, $$R_4$$ और $$R_5$$ हैं जो एक पंक्ति में व्यवस्थित हैं, जहाँ प्रारंभ में सीट $$R_i$$ छात्र $$S_i$$ को आवंटित की जाती है, $$i = 1, 2, 3, 4, 5.$$ लेकिन, परीक्षा के दिन, पाँच छात्रों को पाँच सीटें यादृच्छिक रूप से आवंटित की जाती हैं। (Paragraph "A" पर आधारित दो प्रश्न हैं, नीचे दिया गया प्रश्न उनमें से एक है) परीक्षा के दिन, ऐसा होने की संभावना कि छात्र $$S_1$$ को पहले आवंटित की गई सीट $$R_1$$ प्राप्त हो, और बाकी छात्रों में से कोई भी अपनी पूर्व आवंटित सीट प्राप्त न करे,

एक संगीत कक्षा में पांच छात्र S₁, S₂, S₃, S₄ और S₅ हैं और उनके लिए पांच सीटें R₁, R₂, R₃, R₄ और R₅ एक कतार में व्यवस्थित हैं, जहाँ प्रारंभ में सीट R_i छात्र S_i, i = 1, 2, 3, 4, 5 को आवंटित की जाती है। लेकिन, परीक्षा के दिन, पांच छात्रों को पांच सीटें यादृच्छिक रूप से आवंटित की जाती हैं।

(अनुच्छेद "A" पर आधारित दो प्रश्न हैं, नीचे दिया गया प्रश्न उनमें से एक है)

i = 1, 2, 3, 4 के लिए, T_i उस घटना को निरूपित करता है कि परीक्षा के दिन छात्र S_i और S_i+1 एक दूसरे के पास नहीं बैठते हैं। तब घटना $${T_1} \cap {T_2} \cap {T_3} \cap {T_4}$$ की संभावना है