मान लें $$S = \left\{ {x \in \left( { - \pi ,\pi } \right):x \ne 0, \pm {\pi \over 2}} \right\}.$$ समीकरण $$\sqrt 3 \,\sec x + \cos ec\,x + 2\left( {\tan x - \cot x} \right) = 0$$ के सेट S में सभी विशिष्ट हलों का योग बराबर है

पहले ताकांत में स्थित एक पिरामिड $$OPQRS$$ पर विचार करें $$\left( {x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0} \right)$$ जहां $$O$$ मूल बिंदु है, और $$OP$$ और $$OR$$ क्रमशः $$x$$-अक्ष और $$y$$-अक्ष के साथ हैं। पिरामिड के आधार $$OPQR$$ एक वर्ग है जिसमें $$OP=3.$$ बिंदु $$S$$ सीधे $$OQ$$ के विकर्ण के मध्यबिंदु, $$T$$ के ऊपर स्थित है, इस प्रकार कि $$TS=3.$$ तो

एक कंप्यूटर उत्पादक कारखाने में केवल दो संयंत्र $${T_1}$$ और $${T_2}$$ हैं। संयंत्र $${T_1}$$ कुल उत्पादित कंप्यूटरों का $$20$$% और संयंत्र $${T_2}$$ कुल उत्पादित कंप्यूटरों का $$80$$% उत्पादित करता है। फैक्ट्री में उत्पादित कंप्यूटरों में से $$7$$% कंप्यूटर खराब होते हैं। यह ज्ञात है कि $$P$$ (कंप्यूटर खराब निकलता है यह दिया गया कि इसे संयंत्र $${T_1}$$ में उत्पादित किया गया है)
$$ = 10P$$ (कंप्यूटर खराब निकलता है यह दिया गया कि इसे संयंत्र $${T_2}$$ में उत्पादित किया गया है),
जहां $$P(E)$$ किसी घटना $$E$$ की संभावना को दर्शाता है। फैक्ट्री में उत्पादित एक कंप्यूटर को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और यह खराब नहीं निकलता है। तब संयंत्र $${T_2}$$ में उत्पादित होने की संभावना है:

सभी भिन्न $$x \in \left[ {0,1} \right]$$ की कुल संख्या क्या है जिसके लिए

$$\int\limits_0^x {{{{t^2}} \over {1 + {t^4}}}} dt = 2x - 1$$

प्र differential समीकरण का एक समाधान वक्र

$$\left( {{x^2} + xy + 4x + 2y + 4} \right){{dy} \over {dx}} - {y^2} = 0,$$ $$x>0,$$ इस बिंदु से होकर गुजरता है

$$(1,3)$$। तब समाधान वक्र

$$4a{x^2} + {1 \over x} \ge 1, $$ के लिए $$ a \in R $$ का न्यूनतम मान, सभी $$ x > 0 $$ के लिए, क्या है

एक त्रिभुज $$\Delta $$$$XYZ$$ में, मान लें $$x, y, z$$ क्रमशः कोण $$X, Y, Z$$ के विपरीत किनारों की लंबाई हैं, और $$2s = x + y + z$$।
यदि $${{s - x} \over 4} = {{s - y} \over 3} = {{s - z} \over 2}$$ और त्रिभुज $$XYZ$$ के अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $${{8\pi } \over 3}$$ है, तो

मान लें $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ और $$h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ अवकलनीय फलन हैं, इतने कि $$f\left( x \right)= {x^3} + 3x + 2,$$ $$g\left( {f\left( x \right)} \right) = x$$ और $$h\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = x$$ सभी $$x \in R$$ के लिए। तो

वृत्त $${C_1}:{x^2} + {y^2} = 3,$$ जिसका केंद्र $$O$$ पर है, परवलय $${x^2} = 2y$$ को पहले चतुर्थांश में बिंदु $$P$$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए कि वृत्त $${C_1}$$ पर, बिंदु $$P$$ पर स्पर्श रेखा अन्य दो वृत्तों $${C_2}$$ और $${C_3}$$ को क्रमशः $${R_2}$$ और $${R_3}$$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए $${C_2}$$ और $${C_3}$$ के केंद्र क्रमशः $${Q_2}$$ और $${Q_3}$$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ बराबर $${2\sqrt 3 }$$ हैं। यदि $${Q_2}$$ और $${Q_3}$$ y-अक्ष पर स्थित हैं, तो

मान लें कि RS वृत्त का व्यास है $${x^2}\, + \,{y^2} = 1$$, जहाँ S बिंदु (1, 0) है। मान लें कि P एक चर बिंदु है (R और S को छोड़कर) वृत्त पर और बिंदु S और P पर वृत्त के स्पर्शरेखा Q बिंदु पर मिलते हैं। P पर वृत्त के लम्ब रेखा Q से गुजरती है, जो RS के समानांतर होती है, E बिंदु पर। तब E का लोकस निम्नलिखित बिंदु (बिंदुओं) से गुजरता है

मान लीजिए $$m$$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिससे $${x^2}$$ का गुणांक $${\left( {1 + x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^3} + ........ + {\left( {1 + x} \right)^{49}} + {\left( {1 + mx} \right)^{50}}\,\,$$ के विस्तार में $$\left( {3n + 1} \right)\,{}^{51}{C_3}$$ किसी धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए है। तब $$n$$ का मान कितना है?

एक वाद-विवाद क्लब में 6 लड़कियां और 4 लड़के होते हैं। इस क्लब से 4 सदस्यों की एक टीम का चयन करना है जिसमें से इन 4 सदस्यों में से एक कप्तान का चयन करना भी शामिल है। यदि टीम में अधिकतम एक लड़का होना चाहिए, तो टीम का चयन करने के तरीके की संख्या क्या है

माना कि $$ - {\pi \over 6} < \theta < - {\pi \over {12}}.$$ मान लीजिए $${\alpha _1}$$ और $${\beta_1}$$ समीकरण $${x^2} - 2x\sec \theta + 1 = 0$$ के मूल हैं और $${\alpha _2}$$ और $${\beta _2}$$ समीकरण $${x^2} + 2x\,\tan \theta - 1 = 0$$ के मूल हैं। $$यदि\,{\alpha _1} > {\beta _1}$$ और $${\alpha _2} > {\beta _2},$$ तो $${\alpha _1} + {\beta _2}$$ बराबर है

मान लें $$f:(0,\infty ) \to R$$ एक अवकलनीय फलन है ऐसा कि $$f'(x) = 2 - {{f(x)} \over x}$$ सभी $$x \in (0,\infty )$$ के लिए और $$f(1) \ne 1$$। तब

मान लें $$P = \left[ {\matrix{ 3 & { - 1} & { - 2} \cr 2 & 0 & \alpha \cr 3 & { - 5} & 0 \cr } } \right]$$, जहाँ $$\alpha$$ $$\in$$ R। मान लें कि $$Q = [{q_{ij}}]$$ एक मैट्रिक्स है ऐसा कि PQ = kl, जहाँ k $$\in$$ R, k $$\ne$$ 0 और I 3 के क्रम की पहचान मैट्रिक्स है। यदि $${q_{23}} = - {k \over 8}$$ और $$\det (Q) = {{{k^2}} \over 2}$$, तब

कुल भिन्न x $$\in$$ R की संख्या जिसके लिए

$$\left| {\matrix{ x & {{x^2}} & {1 + {x^3}} \cr {2x} & {4{x^2}} & {1 + 8{x^3}} \cr {3x} & {9{x^2}} & {1 + 27{x^3}} \cr } } \right| = 10$$ है ______________।

यदि $$z = {{ - 1 + \sqrt 3 i} \over 2}$$ है, जहाँ $$i = \sqrt { - 1} $$ है, और r, s $$\in$$ {1, 2, 3} हैं। मान लीजिए $$P = \left[ {\matrix{ {{{( - z)}^r}} & {{z^{2s}}} \cr {{z^{2s}}} & {{z^r}} \cr } } \right]$$ और I क्रम 2 का एक समानक मैट्रिक्स है। तो उन सordered जोड़ी की कुल संख्या (r, s) जिसके लिए P² = $$-$$I है ____________।

मान लीजिए कि $$\alpha$$, $$\beta$$ $$\in$$ R हैं ऐसे कि $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}\sin (\beta x)} \over {\alpha x - \sin x}} = 1$$। तो 6($$\alpha$$ + $$\beta$$) के बराबर है _________।