मान लें कि $\mathrm{A}(x, y, z)$ एक बिंदु है जो $x y$-समतल पर उन तीन बिंदुओं $(0,3,2),(2,0,3)$ और $(0,0,1)$ से समान दूरी पर है।

मान लें $\mathrm{B}=(1,4,-1)$ और $\mathrm{C}=(2,0,-2)$। तब नीचे दिए गए कथनों में से

(S1) : $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, और

(S2) : $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ है,

यदि $f(x)=\frac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}$, तो $\sum_\limits{\mathrm{k}=1}^{81} f\left(\frac{\mathrm{k}}{82}\right)$ बराबर है

सभी मूलों के वर्गों का योग समीकरण $x^2+|2 x-3|-4=0$ के लिए है

संबंध $R=\{(x, y): x, y \in \mathbb{Z}$ और $x+y$ सम है $\}$ है:

मान लें कि $\left\langle a_{\mathrm{n}}\right\rangle$ एक अनुक्रम है जिसमें $a_0=0, a_1=\frac{1}{2}$ है और $2 a_{\mathrm{n}+2}=5 a_{\mathrm{n}+1}-3 a_{\mathrm{n}}, \mathrm{n}=0,1,2,3, \ldots$। तब $\sum_{k=1}^{100} a_k$ के बराबर है।

$\cos \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\sin ^{-1} \frac{33}{65}\right)$ का मान निम्नलिखित है:

यदि $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos ^2 x}{\left(1+e^x\right)} \mathrm{d} x=\pi\left(\alpha \pi^2+\beta\right), \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$, तब $(\alpha+\beta)^2$ का मान है

मान लें कि $\mathrm{T}_{\mathrm{r}}$ एक A.P. का $\mathrm{r}^{\text {था }}$ पद है। यदि किसी $\mathrm{m}$ के लिए, $\mathrm{T}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{25}, \mathrm{~T}_{25}=\frac{1}{20}$, और $20 \sum\limits_{\mathrm{r}=1}^{25} \mathrm{~T}_{\mathrm{r}}=13$, तो $5 \mathrm{~m} \sum\limits_{\mathrm{r}=\mathrm{m}}^{2 \mathrm{~m}} \mathrm{~T}_{\mathrm{r}}$ के बराबर है

दे जाए ${ }^n C_{r-1}=28,{ }^n C_r=56$ और ${ }^n C_{r+1}=70$। मान लें कि $A(4 \operatorname{cost}, 4 \sin t), B(2 \sin t,-2 \cos t)$ और $C\left(3 r-n, r^2-n-1\right)$ त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष हैं, जहाँ $t$ एक पैरामीटर है। यदि $(3 x-1)^2+(3 y)^2$ $=\alpha$, त्रिभुज ABC के सेंट्रोइड का लोकस है, तो $\alpha$ का मान है

दो संख्या $\mathrm{k}_1$ और $\mathrm{k}_2$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। तब, $\mathrm{i}^{\mathrm{k}_1}+\mathrm{i}^{\mathrm{k}_2},(\mathrm{i}=\sqrt{-1})$ का मान गैर-शून्य होने की संभावना है

तीन खराब संतरे गलती से सात अच्छे संतरे के साथ मिल जाते हैं और देखने पर उन्हें अलग करना असंभव है। इस समूह से दो संतरे यादृच्छिक रूप से खींचे जाते हैं। यदि $x$ खराब संतरे की संख्या को दर्शाता है, तो $x$ का विचलन क्या है?

मान लेते हैं कि ABCD एक ट्रैपेजियम है जिसके शीर्ष बिंदु पराबोला $\mathrm{y}^2=4 \mathrm{x}$ पर स्थित हैं। यदि ट्रैपेजियम के AD और BC भुजाओं की लंबाई $y$-अक्ष के समानांतर है। यदि विकर्ण AC की लंबाई $\frac{25}{4}$ है और यह बिंदु $(1,0)$ से गुजरती है, तो $A B C D$ का क्षेत्रफल है

यदि बिंदु $(4,4,3)$ की छवि रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}$ में $(\alpha, \beta, \gamma)$ है, तो $\alpha+\beta+\gamma$ कितना है?

माना $\mathrm{y}=f(x)$, जहाँ $\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x), x>0$ और $f(2)=3$। तब $f(6)$ का मान है:

सभी स्थानीय न्यूनतम मानों का योग इस फलन का

$$\mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{lr} 1-2 x, & x<-1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x>2 \end{array}\right.$$

है

0 , $1,2,3,4,5,6,7$ अंकों का उपयोग करके 50000 से अधिक की कितनी भिन्न 5 अंकों की संख्या बनाई जा सकती है, इस प्रकार की उनकी पहले और अंतिम अंकों का योग 8 से अधिक नहीं होना चाहिए, है:

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिये, जो $x$-अक्ष को बिंदु $(a, 0), a>0$ पर स्पर्श करता है और $y$-अक्ष पर लंबाई $b$ का अवरोध काटता है, वह समीकरण $x^2+y^2-\alpha x+\beta y+\gamma=0$ है। यदि वृत्त $x$-अक्ष के नीचे स्थित है तो क्रमबद्ध युग्म $\left(2 a, b^2\right)$ बराबर है

मान लें $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जिसे $f(x)=(2+3 a) x^2+\left(\frac{a+2}{a-1}\right) x+b, a \neq 1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(x+y)=f(x)+f(\mathrm{y})+1-\frac{2}{7} x \mathrm{y}$, तो $28 \sum_{i=1}^5|f(i)|$ का मान है

मान लें कि $O$ मूल बिंदु है, बिंदु $A$ है $z_1=\sqrt{3}+2 \sqrt{2} i$, बिंदु $B\left(z_2\right)$ ऐसा है कि $\sqrt{3}\left|z_2\right|=\left|z_1\right|$ और $\arg \left(z_2\right)=\arg \left(z_1\right)+\frac{\pi}{6}$। तब

क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) $\left\{(x, \mathrm{y}): 0 \leq \mathrm{y} \leq 2|x|+1,0 \leq \mathrm{y} \leq x^2+1,|x| \leq 3\right\}$ है

मान लें M $3 \times 3$ के सभी वास्तविक मैट्रिसों के सेट को निरूपित करता है और $\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}$ है। मान लें

$$\begin{aligned} & \mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text{ और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \\ & \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text{ और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \\ & \mathrm{S}_3=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\} . \end{aligned}$$

यदि $n\left(S_1 \cup S_2 \cup S_3\right)=125 \alpha$, तो $\alpha$ का मान __________।

मान लें कि $\mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{lc}3 x, & x<0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x>2\end{array}\right.$ जहां [.] सबसे बड़ा पूर्णांक फलन को संदर्भित करता है। यदि $\alpha$ और $\beta$ बिंदुओं की संख्या हैं, जहां $f$ सतत नहीं है और अवकलनीय नहीं है, क्रमशः, तो $\alpha+\beta$ बराबर है _______ ।

यदि $\alpha=1+\sum\limits_{r=1}^6(-3)^{r-1} \quad{ }^{12} \mathrm{C}_{2 r-1}$, तो बिंदु $(12, \sqrt{3})$ की रेखा $\alpha x-\sqrt{3} y+1=0$ से दूरी ________ है।

मान लीजिए $\mathrm{E}_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ एक दीर्घवृत्त है। दीर्घवृत्त $\mathrm{E}_{\mathrm{i}}$ इस प्रकार निर्मित होते हैं कि उनके केंद्र और विसंगति $\mathrm{E}_1$ के समान होते हैं, और $\mathrm{E}_{\mathrm{i}}$ की लघु अक्ष की लंबाई $E_{i+1}(i \geq 1)$ के प्रमुख अक्ष की लंबाई के समान है। यदि $A_i$ दीर्घवृत्त $E_i$ का क्षेत्रफल है, तो $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$, के बराबर है _______।

मान लें कि $\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}$। यदि $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$, $|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8$ और $\overrightarrow{\mathrm{d}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है, तो $|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2$ _________ के बराबर है।