मान लीजिए $\alpha_\theta$ और $\beta_\theta$ असमान मूल हैं $2 x^2+(\cos \theta) x-1=0, \theta \in(0,2 \pi)$ के। यदि m और M क्रमशः $\alpha_\theta^4+\beta_\theta^4$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं, तो $16(M+m)$ निम्नलिखित के बराबर है :

मान लें कि एक रेखा दो भिन्न बिंदुओं $P(-2,-1,3)$ और $Q$ के माध्यम से गुजरती है, और वह वेक्टर $3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ के समानांतर होगी। यदि बिंदु $\mathrm{R}(1,3,3)$ से बिंदु $Q$ की दूरी 5 है, तो $\triangle P Q R$ का क्षेत्रफल का वर्गफल है :

यदि रैखिक समीकरणों का समूह :

$$\begin{aligned} & x+y+2 z=6 \\ & 2 x+3 y+\mathrm{az}=\mathrm{a}+1 \\ & -x-3 y+\mathrm{b} z=2 \mathrm{~b} \end{aligned}$$

जहां $a, b \in \mathbf{R}$ हैं, के अनंत रूप से कई हल हैं, तब $7 a+3 b$ बराबर है :

सभी $\theta \in[0,2 \pi]$ मापों का योग जिसे $2 \sin ^2 \theta=\cos 2 \theta$ और $2 \cos ^2 \theta=3 \sin \theta$ के संतोषजनक हल मिलते हैं, वो है

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ और $\delta$, क्रमशः $x^7, x^5, x^3$ और $x$ के गुणांक हैं, जिसमें विस्तार किया गया है:

$$\begin{aligned} & \left(x+\sqrt{x^3-1}\right)^5+\left(x-\sqrt{x^3-1}\right)^5, x>1 \text{. यदि } u \text{ और } v \text{ समीकरण संतुष्ट करते हैं } \\ & \alpha u+\beta v=18, \\ & \gamma u+\delta v=20, \end{aligned}$$ तब $\mathrm{u+v}$ का मान है :

रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}$ का बिंदु $\mathrm{P}(2,-10,1)$ से लम्बवत दूरी क्या है :

यदि $x=f(y)$ डिफरेंशियल इक़्वेशन $\left(1+y^2\right)+\left(x-2 \mathrm{e}^{\tan ^{-1} y}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0, y \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ का समाधान है जहाँ $f(0)=1$ है, तो $f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ निम्नलिखित के बराबर है :

यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं हैं, इस प्रकार कि $P(A \cap B)=0.1$, और $P(A \mid B)$ एवं $P(B \mid A)$ समीकरण $12 x^2-7 x+1=0$ के मूल हैं, तो $\frac{P(\bar{A} \cup \bar{B})}{P(\bar{A} \cap \bar{B})}$ का मान है:

एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स $M$ के लिए, trace $(M)$ मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्वों के योग को दर्शाता है। $A$ एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स है जिससे $|A|=\frac{1}{2}$ और trace $(A)=3$ है। अगर $B=\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2 A))$, तो $|B|+$ trace $(B)$ का मान :

यदि $\int \mathrm{e}^x\left(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}}+\frac{x}{1-x^2}\right) \mathrm{d} x=\mathrm{g}(x)+\mathrm{C}$, जहां C समाकलन का स्थिरांक है, तो $g\left(\frac{1}{2}\right)$ बराबर है :

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हैं जिनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\lambda \vec{a}+2 \vec{b}$ और $3 \vec{a}-\lambda \vec{b}$ एक दूसरे के लंबवत हैं, तो $\lambda$ के $[-1,3]$ में कितने मान हैं :

वक्र $y=x^2-4 x+4$ और $y^2=16-8 x$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल :

3 लड़कियों और 4 लड़कों के समूह में $B_1$ और $B_2$ दो लड़के हैं। इस तरह से इन्हें कतार में खड़ा करने के तरीकों की संख्या कितनी है जिसमें सभी लड़कियाँ एक साथ होती हैं, सभी लड़के एक साथ होते हैं, लेकिन $B_1$ और $B_2$ एक दूसरे के बगल में न हों :

यदि $\lim _\limits{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^x=\alpha$, तब $\frac{\log _{\mathrm{e}} \alpha}{1+\log _{\mathrm{e}} \alpha}$ का मान समान है:

मान लें $f(x)=\int_0^{x^2} \frac{\mathrm{t}^2-8 \mathrm{t}+15}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}}} \mathrm{dt}, x \in \mathbf{R}$। तब $f$ के स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं की संख्या, क्रमशः, हैं :

मान लें $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$ और $\mathrm{B}=\{1,4,9,16\}$। तब कितनी-एक अभिलक्षित कार्य $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ की संख्या जिसमें $1 \in f(\mathrm{~A})$ है, बराबर है :

माना वक्र $z(1+i)+\bar{z}(1-i)=4, z \in C$, क्षेत्र $|z-3| \leq 1$ को दो भागों में विभाजित करता है जिनके क्षेत्रफल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $|\alpha-\beta|$ के बराबर है :

मान लें कि एक A.P. में पदों की संख्या $2 k, k \in N$ है। यदि A.P. के सभी विषम पदों का योग 40 है, सभी सम पदों का योग 55 है और A.P. का अंतिम पद प्रथम पद से 27 अधिक है, तो k के बराबर है:

मान लें कि $\mathrm{P}(4,4 \sqrt{3})$ बिंदु पराबला $y^2=4 \mathrm{a} x$ पर है और PQ इस पराबला की फोकल कॉर्ड है। यदि M और N पराबला की डायरेक्ट्रिक्स पर क्रमशः P और Q से खींचे गए लम्बों के पाद हैं, तो चतुर्भुज PQMN का क्षेत्रफल बराबर है :

मान लें $\mathrm{E}: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ और $\mathrm{H}: \frac{x^2}{\mathrm{~A}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~B}^2}=1$। E के फोकस और $H$ के फोकस के बीच की दूरी $2 \sqrt{3}$ है। यदि $a-A=2$, और $E$ और $H$ के विकेन्द्रता का अनुपात $\frac{1}{3}$ है, तो उनके लाटस रेक्टम की लंबाई का योग कितना है :

मान लें कि $\mathrm{A}(6,8), \mathrm{B}(10 \cos \alpha,-10 \sin \alpha)$ और $\mathrm{C}(-10 \sin \alpha, 10 \cos \alpha)$, एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। यदि $L(a, 9)$ और $G(h, k)$ इसका ऑर्थोसेंटर और सेंट्रॉइड क्रमशः हैं, तो $(5 a-3 h+6 k+100 \sin 2 \alpha)$ के बराबर है ___________।

मान लें $y=f(x)$ एक अवकल समीकरण का हल है $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{x y}{x^2-1}=\frac{x^6+4 x}{\sqrt{1-x^2}},-1< x<1$ ऐसा कि $f(0)=0$। यदि $6 \int_{-1 / 2}^{1 / 2} f(x) \mathrm{d} x=2 \pi-\alpha$ तो $\alpha^2$ के बराबर है _________।

यदि $\sum_\limits{r=1}^{30} \frac{r^2\left({ }^{30} C_r\right)^2}{{ }^{30} C_{r-1}}=\alpha \times 2^{29}$, तो $\alpha$ का मान _________ है।

मान लें कि दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 5 इकाइयाँ है और बिंदु $P$ उन रेखाओं के बीच एक इकाई दूरी पर एक रेखा से स्थित है। एक समबाहु त्रिभुज $P Q R$ का निर्माण किया गया है, और $Q$ एक समानांतर रेखा पर स्थित है, जबकि $R$ दूसरी पर है। तब $(Q R)^2$ बराबर है _________।

मान लें $A=\{1,2,3\}$। $A$ पर $(1,2)$ और $(2,3)$ वाले कितने संबंध हैं, जो प्रतिबिंबित और पारगमनिक हैं लेकिन सममित नहीं हैं, _________।