माना $$A=\left[\begin{array}{lll}2 & a & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & b\end{array}\right]$$ यदि $$A^3=4 A^2-A-21 I$$, जहाँ $$I$$ कोटि $$3 \times 3$$ की तत्समक आव्यूह हे, तो $$2 a+3 b$$ बराबर है

$$k \in \mathbb{N}$$ का वह मान, जिसके लिए समाकलन $$I_n=\int_0^1\left(1-x^k\right)^n d x, n \in \mathbb{N}$$, समीकरण $$147 I_{20}=148 I_{21}$$ को संतुष्ट करता है, है

माना $$f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$$ हे। अंतराल $$(0,2 \pi)$$ में $$f$$ के स्थानीय उच्चतम मान के बिंदुओं की संख्या है

$$t \in \mathbb{R}$$ के सभी मानों के लिए सदिश $$\vec{a}=\alpha t \hat{i}+6 \hat{j}-3 \hat{k}$$ तथा $$\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}-2 \alpha t \hat{k}$$ अधिककोण पर झुके हुए हैं, तो सभी $$\alpha$$ का समुच्चय है -

माना वृत्त $$C_1:(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r_1^2$$ तथा $$C_2:(x-8)^2+\left(y-\frac{15}{2}\right)^2=r_2^2$$, एक दूसरे को बाह्यतः बिन्दु $$(6,6)$$ पर स्पर्श करते हैं। यदि बिंदु $$(6,6)$$ वृत्तों $$C_1$$ तथा $$C_2$$ के केन्द्रों को मिलाने वाले रेखाखंड को अंतः $$2: 1$$ के अनुपात में बाँटता हे, तो $$(\alpha+\beta)+4\left(r_1^2+r_2^2\right)$$ बराबर है

माना धनात्मक फलन $$f(x)$$ के लिए $$x=0$$ से $$x=a>0$$ तक $$y=f(x), y=0$$ से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $$e^{-a}+4 a^2+a-1$$ है। तो वह अवकल समीकरण, जिसका व्यापक हल $$y=c_1 f(x)+c_2$$ हे, जहाँ $$c_1$$ तथा $$c_2$$ स्वेच्छ अचर हें, हे

माना $$H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ अतिपरवलय है, जिसकी उत्केंद्रता $$\sqrt{3}$$ है तथा नाभिलंब की लम्बाई $$4 \sqrt{3}$$ हे। माना $$(\alpha, 6), \alpha>0, H$$ पर स्थित है। यदि बिन्दु $$(\alpha, 6)$$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $$\beta$$ है, तो $$\alpha^2+\beta$$ बराबर है

फलन $$f(x)=(x-2)^{2 / 3}(2 x+1)$$ के क्रांतिक बिंदुओं की संख्या है

माना अवकल समीकरण $$\left(1+y^2\right) e^{\tan x} d x+\cos ^2 x\left(1+e^{2 \tan x}\right) d y=0, y(0)=1$$ का हल $$y=y(x)$$ हे। तो $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ बराबर हे

माना दो धनात्मक पूर्णांकों का योग 24 हे। यदि उनके गुणनफल की उनके महत्तम संभावित गुणनफल के $$\frac{3}{4}$$ गुने से कम न होने की प्रायिकता, $$\frac{m}{n}$$ हे, जहाँ $$\operatorname{gcd}(m, n)=1$$ हे, तो $$n-m$$ बराबर है

फलन $$f(x)=(\cos x)-x+1, x \in \mathbb{R}$$ के लिए, निम्नलिखित दो कथनों

(S1) $$[0, \pi]$$ में $$x$$ के केवल एक मान के लिए $$f(x)=0$$ है।

(S2) $$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$ में $$f(x)$$ ह्रासमान है तथा $$\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$ में वर्धमान है।

में से

माना $$P(x, y, z)$$ प्रथम अष्टांश में बिन्दु है जिसका $$x y$$-समतल में प्रक्षेय बिन्दु $$Q$$ है। माना $$O P=\gamma ; O Q$$ और धनात्मक $$x$$-अक्ष के मध्य कोण $$\theta$$ है; $$O P$$ और धनात्मक $$z$$-अक्ष के मध्य कोण $$\phi$$ है, जहाँ $$O$$ मूलबिन्दु है, तो $$x$$-अक्ष से $$P$$ की दूरी है -

माना एक सम्मिश्र संख्या $$z$$ के लिए $$|z+2|=1$$ तथा $$\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right)=\frac{1}{5}$$ हैं। तो $$|\operatorname{Re}(\overline{z+2})|$$ का मान है

समीकरण $$(8)^{2 x}-16 \cdot(8)^x+48=0$$ के सभी हलों का योग है :

किसी त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की दो भुजाओं $$\mathrm{AB}$$ तथा $$\mathrm{AC}$$ की समीकरण क्रमशः $$4 x+y=14$$ तथा $$3 x-2 y=5$$ है। बिन्दु $$\left(2,-\frac{4}{3}\right)$$ तीसरी भुजा $$\mathrm{BC}$$ को $$2: 1$$ में अंतः विभाजित करता है। तो भुजा $$\mathrm{BC}$$ की समीकरण है -

यदि $$\sin x=-\frac{3}{5}$$ है, जहाँ $$\pi< x <\frac{3 \pi}{2}$$ हे, तो $$80\left(\tan ^2 x-\cos x\right)$$ बराबर है

माना $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक फलन हे। माना 2310 के सभी अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय $$A$$ है तथा $$f: A \rightarrow \mathrm{Z}, f(x)=\left[\log _2\left(x^2+\left[\frac{x^3}{5}\right]\right)\right]$$ हे। $$A$$ से $$f$$ के परिसर में एकेकी फलनों की संख्या है

यदि समुच्चय $$R=\{(a, b): a+5 b=42, a, b \in \mathbb{N}\}$$ में $$m$$ अवयव हैं तथा $$\sum_\limits{n=1}^m\left(1-i^{n!}\right)=x+i y$$, जहाँ $$i=\sqrt{-1}$$, तो $$m+x+y$$ का मान हे -

यदि रेखाओं

$$\begin{array}{ll} L_1: \vec{r}=(2+\lambda) \hat{i}+(1-3 \lambda) \hat{j}+(3+4 \lambda) \hat{k}, & \lambda \in \mathbb{R} \\ L_2: \vec{r}=2(1+\mu) \hat{i}+3(1+\mu) \hat{j}+(5+\mu) \hat{k}, & \mu \in \mathbb{R} \end{array}$$

के बीच न्यूनतम दूरी $$\frac{m}{\sqrt{n}}$$ हे, जहाँ $$\operatorname{gcd}(m, n)=1$$ हे, तो $$m+n$$ का मान बराबर हे

माना $$I(x)=\int \frac{6}{\sin ^2 x(1-\cot x)^2} d x$$ है। यदि $$I(0)=3$$ है, तो $$I\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ बराबर है

यदि रेखाओं $$2 x+3 y-1=0, x+2 y-1=0$$ तथा $$a x+b y-1=0$$ द्वारा बने त्रिभुज का लंब केन्द्र किसी दूसरे त्रिभुज का केन्द्रक हे, जिसके परिकेन्द्र तथा लंब केन्द्र क्रमशः $$(3,4)$$ तथा $$(-6,-8)$$ है, तो $$|a-b|$$ का मान है ___________.

यदि $$f(\theta)=\frac{\sin ^4 \theta+3 \cos ^2 \theta}{\sin ^4 \theta+\cos ^2 \theta}, \theta \in \mathbb{R}$$ का परिसर $$[\alpha, \beta]$$ है, तो अपरिमित गुणोत्तर श्रेणी का योग, जिसका प्रथम पद 64 है तथा अनुपात $$\frac{\alpha}{\beta}$$ है, बराबर है __________.

माना $$\vec{a}=9 \hat{i}-13 \hat{j}+25 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-13 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=17 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$$ तीन सदिश है। यदि $$\vec{r}$$ एक सदिश इस प्रकार हे कि $$\vec{r} \times \vec{a}=(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{a}$$ तथा $$\vec{r} \cdot(\vec{b}-\vec{c})=0$$ हे, तो $$\frac{|593 \vec{r}+67 \vec{a}|^2}{(593)^2}$$ बराबर हे _________.

माना धनात्मक पूर्णांक को इस रूप में लिख गया है :

यदि उपरोक्त रूप की $$k$$-वीं पंक्ति प्रत्येक प्राक्रतिक संख्या $$k$$ के लिए ठीक $$k$$ संख्या रखती है, तो वह पंक्ति, जिसमें संख्या 5310 होगी, है ________.

अंकों $$2,3,4,5$$ तथा 7 के उपयोग द्वारा $$3$$-अंकीय संख्याओं की संख्या, जब किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है तथा जो $$3$$ से विभाजित नही होती हैं, है __________.

किसी थेले से, जिसमें 5 नीली तथा 4 पीली गेंदें हैं, याच्छच्या तीन गेंदें निकाली गई हैं। माना यादचच्छिक चर $$X$$ तथा $$Y$$ क्रमशः नीली तथा पीली गेंदों की संख्या को दर्शाता है। यदि $$\bar{X}$$ तथा $$\bar{Y}$$ क्रमशः $$X$$ तथा $$Y$$ का माध्य है, तो $$7 \bar{X}+4 \bar{Y}$$ बराबर है _________.

माना $$\alpha=\sum_\limits{r=0}^n\left(4 r^2+2 r+1\right)^n C_r$$ तथा $$\beta=\left(\sum_\limits{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1}\right)+\frac{1}{n+1}$$ हे। यदि $$140 < \frac{2 \alpha}{\beta}<281$$. तो $$n$$ का मान है _________.

माना $$A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$$ है। यदि $$A^{13}$$ के विकर्ण के अवयवों का योग $$3^n$$ है, तो $$n$$ बराबर है _______.

माना कि $$x=-\pi$$ से $$x=\pi$$ के मध्य वक्र $$y=\min \{\sin x, \cos x\}$$ तथा $$x$$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$A$$ हे, तो $$A^2$$ बराबर है ________.

$$\lim _\limits{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x} \sqrt[3]{\cos 3 x} \ldots \ldots \cdot \sqrt[6]{\cos 10 x}}{x^2}\right)$$ का मान है _________.