माना $$a, b, c$$ तथा $$d$$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $$a+b+c+d=11$$ है। यदि $$a^5 b^3 c^2 d$$ का उच्चतम मान $$3750 \beta$$ है, तो $$\beta$$ का मान है -

$$(1+x)^{n+2}$$, के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांकों, जो $$1: 3: 5$$ के अनुपात में हैं, का योग बराबर है -

यदि रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} & 7 x+11 y+\alpha z=13 \\ & 5 x+4 y+7 z=\beta \\ & 175 x+194 y+57 z=361 \end{aligned}$$

के अनंत हल हैं, तो $$\alpha+\beta+2$$ बराबर है:

$$a \in \mathbb{C}$$ के लिए, माना $$\mathrm{A}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(a+\bar{z})>\operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(a+\bar{z})<\operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}$$ हैं। तो दो कथनों:

(S1) : यदि $$\operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a)>0$$ है, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $$\mathrm{A}$$ में हैं

(S2) : यदि $$\operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a)<0$$ हैं, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $$\mathrm{B}$$ में हैं इनमें से

यदि MATHS शब्द के अक्षरों के क्रमचयों से बने सभी शब्दों को एक शब्दकोश की तरह क्रम संख्या के साथ व्यवस्थित किया जाता है, तो शब्द THAMS की क्रम संख्या है -

माना $$\mathrm{A}=\{1,3,4,6,9\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\{2,4,5,8,10\}$$ हैं। मान लो $$\mathrm{A} \times \mathrm{B}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}=\left\{\left(\left(\mathrm{a}_1, \mathrm{~b}_1\right),\left(\mathrm{a}_2, \mathrm{~b}_2\right)\right): \mathrm{a}_1 \leq \mathrm{b}_2\right.$$ तथा $$\left.\mathrm{b}_1 \leq \mathrm{a}_2\right\}$$ है। तो $$\mathrm{R}$$ में अवयवों की संख्या है:

यदि $$\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$$ के द्विपद प्रसार में अंत से 1011 वाँ पद, आरंभ से 1011 वें पद का 1024 गुना हे, तो $$|x|$$ बराबर है -

यदि $$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2\end{array}\right|=\frac{9}{8}(103 x+81)$$ है, तो $$\lambda, \frac{\lambda}{3}$$ किस समीकरण के मूल हैं?

माना 6 प्रक्षेणों $$1,2,4,5, \mathrm{x}$$ तथा $$\mathrm{y}$$ का माध्य 5 है तथा इनका प्रसरण 10 है। तो इनका माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है

यदि $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक संतत फलन है तथा $$\int_\limits0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin 2 x) \sin x d x+\alpha \int_\limits0^{\frac{\pi}{4}} f(\cos 2 x) \cos x d x=0$$ है, तो $$\alpha$$ का मान है

माना दो फलन $$f$$ तथा $$\mathrm{g}$$,

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {x + 1,} & {x < 0} \cr {|x - 1|,} & {x \ge 0} \cr } } \right.$$ तथा $$g(x) = \left\{ {\matrix{ {x + 1,} & {x < 0} \cr {1,} & {x \ge 0} \cr } } \right.$$

द्वारा परिभाषित हैं। तो $$(gof) (x)$$

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+\frac{5}{x\left(x^5+1\right)} y=\frac{\left(x^5+1\right)^2}{x^7}, x>0$$ का हल $$y=y(x)$$ है। यदि $$y(1)=2$$ है, तो $$y(2)$$ बराबर है

माना $$f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \begin{cases}e^{\min \left\{x^2, x-[x]\right\},} & x \in[0,1) \\ e^{\left[x-\log _e x\right]}, & x \in[1,2]\end{cases}$$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$[t]$$ का महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है। तो समाकलन $$\int_\limits0^2 x f(x) d x$$ का मान है -

फलन $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{[x]^2-3[x]-10}}$$, जहाँ $$[\mathrm{x}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{x}$$ हे, का प्रांत है

माना $$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$$ तथा $$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ हैं। यदि एक सदिश $$\vec{c}$$ के लिए $$\vec{a} \cdot \vec{c}=11, \vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$$ तथा $$\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$$ हैं, तो $$|\vec{a} \times \vec{c}|^2$$ बराबर हैं ____________.

माना $$\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\{1,2,3,4,5,6\}$$ हैं। तो $$f(1)+f(2)=f(4)-1$$ को संतुष्ट करने वाले फलनों $$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$$ की संख्या है ___________.

माना एक अभिनत सिक्के के लिए चित आने की प्रयिकता $$\frac{1}{4}$$ है। इस बार बार उछाला जाता है जब तक कि चित प्राप्त न हो जाऐ। माना सिक्के को उछालने की आवश्यक संख्या $$\mathrm{N}$$ है। यदि समीकरण $$64 \mathrm{x}^2+5 \mathrm{Nx}+1=0$$ के वास्तविक हल न होने की प्रायिकता $$\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$$ है, जहाँ $$\mathrm{p}$$ तथा $$q$$ असहभाज्य हैं, तो $$q-p$$ बराबर है __________.

यदि वक्र $$\mathrm{C}: 2 \mathrm{x}^2-\mathrm{y}+1=0, \mathrm{C}$$ के बिंदु $$(1,3)$$ पर स्पर्श रेखा तथा रेखा $$\mathrm{x}+\mathrm{y}=1$$ से घिरे, प्रथम चतुर्थांश में, क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ हे, तो $$60 \mathrm{A}$$ बराबर है _____________.

माना $$\mathrm{S}=\left\{z \in \mathbb{C}-\{i, 2 i\}: \frac{z^2+8 i z-15}{z^2-3 i z-2} \in \mathbb{R}\right\}$$ है। यदि $$\alpha-\frac{13}{11} i \in \mathrm{S}, \alpha \in \mathbb{R}-\{0\}$$ है, तो $$242 \alpha^2$$ बराबर है ___________.

उन बिन्दुओं, जहाँ वक्र $$f(x)=\mathrm{e}^{8 x}-\mathrm{e}^{6 x}-3 \mathrm{e}^{4 x}-\mathrm{e}^{2 x}+1, x \in \mathbb{R}, x$$-अक्ष को काटता है, की संख्या है __________.