माना $$R$$ पर दो संबध $$R_{1}$$ तथा $$R_{2}, a R_{1} b \Leftrightarrow a b \geq 0$$ तथा $$a R_{2} b \Leftrightarrow a \geq b$$ द्वारा परिभाषित हैं । तो -

माना $$f, g: N-\{1\} \rightarrow \mathrm{N}, f(a)=\alpha$$, जहाँ उन अभाज्य संख्याओं $$p$$, जिनके लिए $$\mathrm{p}^{\alpha}, a$$ को विभाजित करता है, की घातों में $$\alpha$$ अधिकतम है तथा $$g(a)=a+1$$ सभी $$a \in N-\{1\}$$ के लिए, द्वारा परिभाषित हैं । तो फलन $$f+g$$

माना $$v=|z|^{2}+|z-3|^{2}+|z-6 i|^{2}, z \in \mathbb{C}$$ का न्यूनतम मान $$z=z_{0}$$ पर प्राप्त होता है। तो $$\left|2 z_{0}^{2}-\bar{z}_{0}^{3}+3\right|^{2}+v_{0}^{2}$$ बराबर है

माना $$A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -5\end{array}\right)$$ है तथा माना $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ इस प्रकार हैं कि $$\alpha A^{2}+\beta A=2 I$$ है। तो $$\alpha+\beta$$ का मान है-

$$(2021)^{2022}+(2022)^{2021}$$ को $$7$$ से विभाजित करने पर शेषफल है-

माना $$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\mathrm{n}}, \ldots$$ वास्तविक संख्याओं की एक समांतर श्रेढ़ी है । यदि इस श्रेढ़ी के प्रथम पाँच पदों के योग का, प्रथम नौ पदों के योग से अनुपात $$5: 17$$ है तथा $$110 < a_{15} < 120$$ है, तो इस श्रेढ़ी के प्रथम दस पदों का योग है-

माना एक फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right)+[2-x], a \in \mathbb{R}$$, द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$[t]$$ महतम पूर्णांक $$\leq t$$ है । यदि $$\lim\limits_{x \rightarrow-1} f(x)$$ का अस्तित्व है, तो $$\int\limits_{0}^{4} f(x) d x$$ का मान बराबर है-

माना $$I=\int_{\pi / 4}^{\pi / 3}\left(\frac{8 \sin x-\sin 2 x}{x}\right) d x$$ है । तो

वक्रों $$y^{2}=8 x+4$$ तथा $$x^{2}+y^{2}+4 \sqrt{3} x-4=0$$ से धिरे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=x+y$$ के $$y_{1}(0)=0$$ तथा $$y_{2}(0)=1$$ के लिए दो भित्र हल क्रमश: $$y=y_{1}(x)$$ तथा $$y=y_{2}(x)$$ हैं तो $$y=y_{1}(x)$$ तथा $$y=y_{2}(x)$$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है-

माना दो सदिशों $$\vec{a}=\alpha \hat{i}+\hat{j}+\beta \hat{k}$$ तथा $$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}$$ के लिए $$\vec{a} \times \vec{b}=-i+9 \hat{j}+12 \hat{k}$$ है। तो $$\vec{b}-2 \vec{a}$$ का $$\vec{b}+\vec{a}$$ पर प्रक्षेप बराबर है

माना पाँच अंको की सभी संख्याओं की प्रतिदर्श समष्टि $$\mathrm{S}$$ है । यदि $$\mathrm{S}$$ में से एक याहक्छया चुनी गई संख्या के $$7$$ का गुणज होने तथा $$5$$ से विभाज्य न होने की प्रायिकता $$p$$ है, तो $$9 p$$ बराबर है-

माना एक त्रिभुज $$A B C$$ के शीर्ष $$A(1,1), B(-4,3), C(-2,-5)$$ हैं, भुजा $$B C$$ पर एक बिंदु $$P$$ है तथा त्रिभुजों $$A P B$$ तथा $$A B C$$ के क्षेत्रफल क्रमशः $$\Delta_{1}$$ तथा $$\Delta_{2}$$ हैं। यदि $$\Delta_{1}: \Delta_{2}=4: 7$$ है, तो रेखाओं $$A P, A C$$ और $$x$$-अक्षा से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

यदि वृत $$x^{2}+y^{2}-2 g x+6 y-19 c=0, g, c \in \mathbb{R}$$, बिंदु $$(6,1)$$ से होकर जाता है तथा इसका केन्द्र रेखा $$x-2 c y=8$$ पर है, तो वृत्त द्वारा $$x$$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई है-

माना एक फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \begin{cases}\int\limits_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x & , x \leq 4\end{cases}$$ जहाँ $$b \in \mathbb{R}$$ है, द्वारा परिभाषित है । यदि $$x=4$$ पर $$f$$ संतत है, तो निम्न में से कोन सा कथन सत्य नहीं है ?

माना $$k \in \mathbb{R}$$ के लिए समीकरण $$\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k, 0<|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$$ के हल $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं, जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं । यदि समीकरण $$x^{2}-b x-5=0$$ के हल $$\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$$ तथा $$\frac{\alpha}{\beta}$$ हैं, तो $$\frac{b}{k^{2}}$$ बराबर है ___________.

एक विद्यार्थी द्वारा 10 प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 15 तथा 15 निकाले गए। विद्यार्थी ने एक परीक्षण 15 को गलती से 25 लिया । तो सही मानक विचलन है ____________.

एक दीर्घवृत $$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$, अतिपरवलय $$H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$$ के शीर्षों से होकर जाता है । माना दीर्घवृत $$E$$ के दीर्घ तथा लघु अक्ष क्रमशः अतिपरवलय $$H$$ के अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्ष के सम्पाती हैं । माना $$E$$ तथा $$H$$ की उत्केन्द्रताओं का गुणनफल $$\frac{1}{2}$$ है । यदि दीर्घवृत $$E$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $$l$$ है, तो $$113 l$$ का मान है _____________.

माना अवकल समीकरण $$\sin \left(2 x^{2}\right) \log _{e}\left(\tan x^{2}\right) d y+\left(4 x y-4 \sqrt{2} x \sin \left(x^{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right) d x=0,0 < x <\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$, बिंदु $$\left(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 1\right)$$ से होकर जाता है । तो $$\left|y\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)\right|$$ बराबर है___________.

माना $$f(x)=2 x^{2}-x-1$$ तथा $$\mathrm{S}=\{n \in Z:|f(n)| \leq 800\}$$ हैं | तो $$\sum\limits_{n \in S} f(n)$$ का मान है ____________.

माना $$3 \times 3$$ के सभी आव्यूहों, जिनके अवयव $$\{-1,0,1\}$$ में से हैं, का समुच्वय $$S$$ है । आव्यूहों $$A \in S$$, जिनके लिए $$A^{T} A$$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $$6$$ है, की कुल संख्या है ______________.

यदि दीर्घवृत्त $$x^{2}+4 y^{2}+2 x+8 y-\lambda=0$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $$4$$ है तथा इसके दीर्घअक्ष की लंबाई $$l$$ है, तो $$\lambda+l$$ बराबर है _____________.

माना $$S=\left\{z \in \mathbb{C}: z^{2}+\bar{z}=0\right\}$$ है। तो $$\sum\limits_{z \in S}(\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z))$$ बराबर है ______________.